Question

Y=cosx/x+sinx найти производную

Answer 1

$y= \frac{cosx}{x+sinx}$
$y'= \frac{-sinx(x+sinx)-cosx(1+cosx)}{(x+sinx)^{2}}=\frac{-x*sinx-sin^{2}x-cosx-cos^{2}x}{(x+sinx)^{2}}=\frac{-x*sinx-1-cosx}{(x+sinx)^{2}}=-\frac{x*sinx+1+cosx}{(x+sinx)^{2}}$

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( y = \frac{\cos(x)}{x+\sin(x)} \) по переменной \( x \) с использованием правила квотиента.

1. Обозначим числитель функции как \( u \) и знаменатель как \( v \): \[ u = \cos(x) \] \[ v = x + \sin(x) \]

2. Найдем производные \( u' \) и \( v' \) по переменной \( x \): \[ u' = -\sin(x) \] \[ v' = 1 + \cos(x) \]

3. Теперь воспользуемся правилом квотиента: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

4. Подставим значения производных: \[ \left(\frac{\cos(x)}{x+\sin(x)}\right)' = \frac{(-\sin(x))(x + \sin(x)) - (\cos(x)) (1 + \cos(x))}{(x + \sin(x))^2} \]

5. Упростим выражение: \[ \frac{-x\sin(x) - \sin^2(x) - \cos(x) - \cos^2(x)}{(x + \sin(x))^2} \]

6. Сгруппируем похожие члены: \[ \frac{-(x\sin(x) + \sin^2(x) + \cos(x) + \cos^2(x))}{(x + \sin(x))^2} \]

7. Воспользуемся тригонометрическим тождеством \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \): \[ \frac{-(x\sin(x) + 1)}{(x + \sin(x))^2} \]

Таким образом, производная функции \( y = \frac{\cos(x)}{x+\sin(x)} \) по переменной \( x \) равна: \[ \frac{-(x\sin(x) + 1)}{(x + \sin(x))^2} \]