Question

Пусть В - множество правильных обыкновенных дробей со знаменателем 13. Найдите подмножество множества В , в котором каждый элемент является числом: а) меньшим 1\2 б) большим 2\3 в) меньшим 0,1 г) большим 0,8.

Answer 1

Множество B: (1/2; 1/3;2/3; 1/4;2/4;3/4; 1/5;2/5;3/5;4/5; 1/6;2/6;3/6;4/6;5/6; 1/7;2/7;3/7;4/7;5/7;6/7; 1/8;2/8;3/8;4/8;5/8;6/8;7/8; 1/9;2/9;3/9;4/9;5/9;6/9;7/9;8/9; 1/10;2/10;3/10;4/10;5/10;6/10;7/10;8/10;9/10; 1/11;2/11;3/11;4/11;5/11;6/11;7/11;8/11;9/11;10/11; 1/12;2/12;3/12;4/12;5/12;6/12;7/12;8/12;9/12;10/12;11/12; 1/13;2/13;3/13;4/13;5/13;6/13;7/13;8/13;9/13;10/13;11/13;12/13)

а) Меньше 1/2: (1/3;1/4;1/5;2/5;1/6;2/6;1/7;2/7;3/7;1/8;2/8;3/8;1/9;2/9;3/9;4/9;1/10;2/10;3/10;4/10;1/11;2/11;3/11;4/11;5/11;1/12;2/12;3/12;4/12;5/12;1/13;2/13;3/13;4/13;5/13;6/13)

б) Больше 2/3.
Для каждого знаменателя определяем нужный числитель.
1/2 < 2/3
2/4 < 2/3 < 3/4
3/5 < 2/3 < 4/5
2/3 = 4/6 < 5/6
x/7>2/3 <=> x>14/3 >4 => 2/3 < 5/7 < 6/7
x/8>2/3 <=> x>16/3 >5 => 2/3 < 6/8 < 7/8
2/3 = 6/9 < 7/9 < 8/9
6/10 < 2/3 < 7/10 < 8/10 < 9/10
x/11>2/3 <=> x>22/3 >7 => 2/3 < 8/11 < 9/11 < 10/11
2/3 = 8/12 < 9/12 < 10/12 < 11/12
x/13>2/3 <=> x>26/3>8 => 2/3 < 9/13 < 10/13 < 11/13 < 12/13

Мн-во: (3/4;4/5;5/6;5/7;6/7;6/8;7/8;7/9;8/9;7/10;8/10;9/10;8/11;9/11;10/11;9/12;10/12;11/12;9/13;10/13;11/13;12/13)

в) Меньше 0,1 = 1/10
Все дроби со знаменателем, меньшим 10, превосходят 1/10. Также как и все дроби со знаменателем равным 10 и числителем больше 1.
Т.о., нужно выбрать из дробей со знаменателями 11,12 и 13:
x/11<1/10 <=> x<11/10=1,1<2 => 2/11>1/10>1/11
x/12<1/10 <=> x<12/10=1,2<2 => 2/12>1/10>1/12
x/13<1/10 <=> x<13/10=1,3<2 => 2/13>1/10>1/13

Мн-во: (1/11;1/12;1/13)

г) Больше 0,8=8/10=4/5
Воспользуемся результатами п.б, т.к. 4/5>2/3. Соответственно, нужно проверить дроби из мн-ва из п.б. на указанное соотношение.
3/4<4/5
4/5<5/6
25<28 <=> 5*5<4*7 <=> 5/7<4/5
4/5<6/7
6/8=3/4<4/5<7/8
35<36 <=> 5*7<4*9 <=> 7/9<4/5
4/5<8/9
8/10<9/10
x/11>8/10 <=> x>88/10=8,8 => 8/10<9/11<10/11
x/12>8/10 <=> x>96/10=9,6 => 8/10<10/12<11/12
x/13>8/10 <=> x>104/10=10,4 => 8/10<11/13<12/13

Мн-во: (5/6;6/7;7/8;8/9;9/10;9/11;10/11;10/12;11/12;11/13;12/13)