Question

Сколько корней имеет уравнение |х-12| = а^2-5а + 6 в зависимости от значений а? Не понимаю смысл задания

Answer 1

$|x-12|=a^2-5a+6$

Выражение, стоящее в правой части равенства может принимать как полжительные значения, так и отрицательные значения и ноль. Всё зависит от числового значения   а. По определению модуля числа

$|A|= \left\{\begin{array}{ccc}A,\; esli\; A\ \textgreater \ 0\\0,\; esli\; A=0\\-A,\; esli\; A\ \textless \ 0\end{array}\right.$

По теореме Виета  $a^2-5a+6=0$  при  $a_1=2,\; a_2=3$ .
Поэтому $|x-12|=x-12=0\; \to \; x=12$ .
Знаки квадратного трёхчлена:  + + + (2) - - - (3) + + + 

 $a^2-5a+6\ \textgreater \ 0\; \; \to \; \; a\in (-\infty ,2)\cup (3,+\infty )$ 
В этом случае получаем два решения (при  x>12  и при х<12) .
А если $a^2-5a+6\ \textless \ 0$ , то решений уравнение не будет иметь,так как модуль не может принимать отрицательные значения. Это будет в случае  $a\in (2,3)$ .
Ответ:  уравнение имеет одно решение при а=2 и а=3;
             уравнение имеет 2 решения при а∈(-∞,2)∪(3,+∞) ;
             уравнение не имеет решений при а∈(2,3) .