Question

решите пожалуйста: Докажите, что 8 в степени 4 + 2 в степени 22 кратно 17

Answer 1

9^1 mod 8 =1 (9 при делении на 8 даёт в остатке 1), (1+7) mod 8 = 0.
Пусть 9^k mod 8 =1. Тогда 9^(k+1) mod 8 = (9*9^k mod 8)=9*(9^k) mod 8 = (9 mod 8)*(9^k mod 8) mod 8 =1.

2, несколько по другому. 3^3 mod 7 = 27 mod 7 = 6. 2^3 mod 7 =1. (6+1) mod 7 = 0.
При n=2: 3^5 mod 7 = (6*9) mod 7 = 5. 2^4 mod 7 =(1*2) mod 7 = 2. (5+2) mod 7 = 0.
При n=3: Получим, остатки от деления слагаемых на 7 соответственно 3 и 4, а сумма снова делится на 7.
При n=4: Остатки будут 6 и 1, как и при n=1. Далее они будут повторяться.

Answer 2

Чтобы доказать, что $8^4 + 2^{22}$ кратно 17, мы можем использовать теорию остатков или модулярную арифметику. В модулярной арифметике мы рассматриваем остаток от деления числа на другое число.

Для начала, найдем остатки от деления $8^4$ и $2^{22}$ на 17.

$8^4 \equiv 1 \pmod{17}$

Чтобы найти этот остаток, мы можем последовательно возводить число 8 в степень и брать остаток от деления на 17:

$8^1 \equiv 8 \pmod{17}$

$8^2 \equiv 64 \equiv 13 \pmod{17}$

$8^3 \equiv 104 \equiv 15 \pmod{17}$

$8^4 \equiv 120 \equiv 1 \pmod{17}$

Теперь найдем остаток от деления $2^{22}$ на 17. По аналогии:

$2^1 \equiv 2 \pmod{17}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{17}$

$2^3 \equiv 8 \pmod{17}$

$2^4 \equiv 16 \equiv -1 \pmod{17}$

$2^5 \equiv 32 \equiv -2 \pmod{17}$

$2^6 \equiv 64 \equiv -4 \pmod{17}$

$2^7 \equiv 128 \equiv -8 \pmod{17}$

$2^8 \equiv 256 \equiv -1 \pmod{17}$

$2^9 \equiv 512 \equiv -2 \pmod{17}$

$2^{10} \equiv 1024 \equiv -4 \pmod{17}$

$2^{11} \equiv 2048 \equiv -8 \pmod{17}$

$2^{12} \equiv 4096 \equiv -1 \pmod{17}$

$2^{13} \equiv 8192 \equiv -2 \pmod{17}$

$2^{14} \equiv 16384 \equiv -4 \pmod{17}$

$2^{15} \equiv 32768 \equiv -8 \pmod{17}$

$2^{16} \equiv 65536 \equiv -1 \pmod{17}$

$2^{17} \equiv 131072 \equiv -2 \pmod{17}$

$2^{18} \equiv 262144 \equiv -4 \pmod{17}$

$2^{19} \equiv 524288 \equiv -8 \pmod{17}$

$2^{20} \equiv 1048576 \equiv -1 \pmod{17}$

$2^{21} \equiv 2097152 \equiv -2 \pmod{17}$

$2^{22} \equiv 4194304 \equiv -4 \pmod{17}$

Теперь, когда у нас есть остатки от деления $8^4$ и $2^{22}$ на 17, мы можем сложить их и проверить, кратно ли это 17:

$8^4 + 2^{22} \equiv 1 + (-4) \equiv -3 \equiv 14 \pmod{17}$

Таким образом, $8^4 + 2^{22}$ не кратно 17.