Question

Число 16 представленно в виде произведения двух положительных множителей так, что сумма их квадратов имеет наименьшее значение. Найдите эти множители

Answer 1

Пусть х - первый множитель, тогда 16/х- второй, принадлежит промежутке от 0 до + бесконечности
значит P=x^2+(16/x)^ 2
Р'=2х-(512/х^3)
p'=0 при 2х-(512/х^3)=0
x=+-4
т.к. носители положительные, то они равны 4 и 4.

Answer 2

Для нахождения множителей числа 16, которые обеспечивают наименьшее значение суммы их квадратов, можно воспользоваться методом оптимизации.

Пусть два положительных множителя числа 16 равны x и y. Тогда уравнение, описывающее данную ситуацию, будет иметь вид: x * y = 16

Также нам дано, что сумма их квадратов должна быть минимальной. Выражаем эту сумму и приводим к квадратному виду: x^2 + y^2 = (x - y)^2 + 2xy = (x - y)^2 + 32

Теперь задача сводится к нахождению минимального значения выражения (x - y)^2 + 32. Найдем производную от этого выражения по переменной x и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума:

d/dx ((x - y)^2 + 32) = 2(x - y) = 0

Отсюда получаем, что x - y = 0, то есть x = y.

Подставляем x в уравнение x * y = 16: x * x = 16 x^2 = 16 x = 4

Таким образом, оптимальные множители числа 16 равны 4 и 4.