Question

Найдите промежутки возростания и убывания функции f(x)=x^3-3x-6

Answer 1

F'(x)=3x²-3
3x²-3=0
3(x²-1)=0
x²-1=0
x=1. x=-1
......+......-1......-.......1......+......
-1- точка максимума
1- точка минимума
↑(-∞;-1)(1;+∞)
↓(-1;1)

Answer 2

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции \( f(x) = x^3 - 3x - 6 \), нужно проанализировать её производную. Промежутки возрастания функции соответствуют тем значениям \( x \), для которых производная положительна, а промежутки убывания — тем, где производная отрицательна.

1. Начнем с нахождения производной функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: \[ 3x^2 - 3 = 0 \]

Решив уравнение, получаем: \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \]

Отсюда получаем две критические точки: \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

3. Теперь выберем тестовые точки между и за пределами этих критических точек и проанализируем знаки производной в этих интервалах.

- Между \( -\infty \) и \( -1 \) возьмем \( x = -2 \). Подставим в производную: \[ f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 \] Производная положительна, следовательно, функция возрастает на интервале \( (-\infty, -1) \).

- Между \( -1 \) и \( 1 \) возьмем \( x = 0 \). Подставим в производную: \[ f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 \] Производная отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале \( (-1, 1) \).

- Между \( 1 \) и \( +\infty \) возьмем \( x = 2 \). Подставим в производную: \[ f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 \] Производная положительна, следовательно, функция возрастает на интервале \( (1, +\infty) \).

Таким образом, функция \( f(x) = x^3 - 3x - 6 \) возрастает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, +\infty) \), и убывает на интервале \( (-1, 1) \).