Question

Помогите решить пример, пожалуйста!!! Нужна подробная роспись. sin^2 x/2 - cos^2 x/2 = cos2x на отрезке [пи/2;2пи]

Answer 1

Всё подробно написала в решении.Используем формулу косинуса двойного угла.

Answer 2

Для решения задачи необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Дано уравнение: sin^2(x/2) - cos^2(x/2) = cos2x на отрезке [π/2;2π].

Можно начать, приведя слагаемые к общему знаменателю и исключив cos^2(x/2) через sin^2(x/2) с использованием тождества: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Упростим уравнение: sin^2(x/2) - (1 - sin^2(x/2)) = cos2x.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: sin^2(x/2) - 1 + sin^2(x/2) = cos2x.

2sin^2(x/2) - 1 = cos2x.

Теперь воспользуемся тождествами двойного угла : cos2Θ = 1 - 2sin^2Θ и sin2Θ = 2sinΘcosΘ.

Подставим их в уравнение: 2sin^2(x/2) - 1 = 1 - 2sin^2(x).

Упростим уравнение: 2sin^2(x/2) - 1 + 2sin^2(x) - 1 = 0.

Сгруппируем слагаемые: 4sin^2(x/2) + 2sin^2(x) - 2 = 0.

Разделим всю формулу на 2: 2sin^2(x/2) + sin^2(x) - 1 = 0.

Введем новую переменную: t = sin(x/2).

Тогда уравнение примет вид: 2t^2 + (2t)^2 - 1 = 0.

Раскроем скобки и упростим: 2t^2 + 4t^2 - 1 = 0.

Сгруппируем слагаемые: 6t^2 - 1 = 0.

Добавим 1 к обеим частям: 6t^2 = 1.

Разделим обе части на 6: t^2 = 1/6.

Возведем обе части в квадрат: t = ± √(1/6).

Подставляем обратно sin(x/2): sin(x/2) = ± √(1/6).

Теперь решим это уравнение относительно x/2.

1) sin(x/2) = √(1/6): x/2 = arcsin(√(1/6)).

2) sin(x/2) = -√(1/6): x/2 = π - arcsin(√(1/6)).

Таким образом, получаем два значения:

1) x/2 = arcsin(√(1/6)). x = 2arcsin(√(1/6)).

2) x/2 = π - arcsin(√(1/6)). x = 2π - 2arcsin(√(1/6)).

Таким образом, решение уравнения sin^2(x/2) - cos^2(x/2) = cos2x на отрезке [π/2;2π] имеет вид:

x = 2arcsin(√(1/6)) или x = 2π - 2arcsin(√(1/6)).

Надеюсь, данное решение полностью разъяснило вам пример. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, задайте их.