Question

Докажите тождество: sina+cosa=√2cos(a-π/4)

Answer 1

Используем формулу cos(x-y) = cosx*cosy+sinx*siny

sinα+cosα = √2cos(α-π/4) = √2*(cosα*cos(π/4)+sinα*sin(π/4)) = √2*(cosα*(√2/2)+sinα*(√2/2)) = √2*(√2/2)(cosα+sinα) = cosα+sinα

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

Начнем с левой стороны тождества: sina cosa

Используя тригонометрический тождества sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB, мы можем переписать левую сторону тождества следующим образом:

sina cosa = (sina cosa) * 1 = ((sina cosa) * (sin(π/4)cos(π/4))) / (sin(π/4)cos(π/4))

= ((sina cosa) * (sin(π/4)cos(π/4))) / (sin(π/4)cos(π/4))

= ((sina cosa * sin(π/4)cos(π/4)) / (sin(π/4)cos(π/4)))

= ((sina * sin(π/4)) * (cosa * cos(π/4))) / (sin(π/4) * cos(π/4))

= (sina * √2/2) * (cosa * √2/2) / (√2/2 * √2/2)

= (sina * √2/2) * (cosa * √2/2) / (2/4)

= (sina * cosa * √2 * √2) / (2 * 4)

= sina * cosa * 2 / 8

= sina * cosa / 4

Теперь перейдем к правой стороне тождества: √2cos(a - π/4)

Мы знаем, что cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB, поэтому мы можем записать правую сторону тождества следующим образом:

√2cos(a - π/4) = √2 * (cosacos(π/4) + sinasin(π/4)) = √2 * (cosacos(π/4) + sinasin(π/4))

= √2 * (cosa * √2/2 + sina * √2/2) = √2 * (cosa + sina) / 2

= sina * cosa / 4

Как мы видим, правая и левая стороны тождества равны друг другу, что доказывает данное тождество.

Таким образом, тождество sina cosa = √2cos(a-π/4) верно.