Question

Дана функция y=4/(x^2+1) Нужно найти асимптоты графика функции и экстремумы

Answer 1

Y=4/(x²+1)
при х→+-∞ у→0 ось х - асимптота.
y=4*(x²+1)⁻¹    y'=-4(x²+1)⁻²*2x  точка экстремума одна y'=0 при х=0 учтено
(х²+1)>0   y'>0 (возрастает) при х<0 и меньше 0 при х >0 (убывает)
в точке х=0 максимум умакс=4/1=4

Answer 2

Асимптоты графика функции

Для нахождения асимптот графика функции, нужно рассмотреть пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности или к некоторому конкретному значению.

1. Горизонтальные асимптоты: - При рассмотрении предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, если предел равен константе, то график функции имеет горизонтальную асимптоту на этом уровне. - В данном случае, при рассмотрении предела функции при стремлении аргумента x к бесконечности, предел равен 0. Это означает, что график функции имеет горизонтальную асимптоту на уровне y = 0.

2. Вертикальные асимптоты: - При рассмотрении предела функции при стремлении аргумента к некоторому конкретному значению, если предел равен бесконечности или не существует, то график функции имеет вертикальную асимптоту в этой точке. - В данном случае, при рассмотрении предела функции при стремлении аргумента x к бесконечности, предел не существует. Это означает, что график функции не имеет вертикальных асимптот.

Экстремумы функции

Для нахождения экстремумов функции, нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

1. Производная функции: - Для функции y = 4/(x^2+1), найдем производную функции по переменной x. - Производная функции y = 4/(x^2+1) равна y' = -8x/(x^2+1)^2.

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю: - Решим уравнение -8x/(x^2+1)^2 = 0. - Получим x = 0.

3. Проверим, является ли найденная точка экстремумом: - Для этого рассмотрим знак производной функции в окрестности точки x = 0. - При x < 0, производная отрицательна, а при x > 0, производная положительна. - Значит, точка x = 0 является локальным минимумом функции.

Ответ:

- График функции имеет горизонтальную асимптоту на уровне y = 0. - График функции не имеет вертикальных асимптот. - Функция имеет локальный минимум в точке x = 0.