Question

Гипербола y=108/xпересекает окружность x^2+y^2=15^2в точках А и В которые лежат в 1 четверти найти скалярное произведение ОА*ОВ

Answer 1

Y=108/x   xy=108
x²+y²=15²→(x+y)²-2xy=15²
(x+y)²=225+2*108=441  → x+y=21     x+y= -21

x(21-x)=108     -x²+21x-108=0
x²-21x+108=0    D=21²-4*108=9      x1=(21+3)/2=12    y1=108/12= 9
                                                         x2=(21-3)/2=9       y2= 12

 для векторов а (ах, ау) и  b(bх, bу)    скалярное произведение можно считать по формуле аx*bx+ay*by = 12*9+9*12=216

Answer 2

Для решения этой задачи начнем с того, чтобы найти точки пересечения гиперболы и окружности. У нас есть гипербола \(y = \frac{108}{x}\) и окружность \(x^2 + y^2 = 15^2\). Подставим выражение для \(y\) из гиперболы в уравнение окружности:

\[x^2 + \left(\frac{108}{x}\right)^2 = 15^2\]

Упростим это уравнение. Умножим обе стороны на \(x^2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[x^4 + 108^2 = 15^2 \cdot x^2\]

Теперь приведем все члены к общему знаменателю:

\[x^4 - 15^2 \cdot x^2 + 108^2 = 0\]

Это уравнение можно решить, например, с помощью подстановки \(t = x^2\):

\[t^2 - 15^2 \cdot t + 108^2 = 0\]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения и затем восстановим значения для \(x\). Когда найдем значения \(x\), мы сможем найти соответствующие значения \(y\) из уравнения гиперболы.

Теперь, когда у нас есть координаты точек \(A\) и \(B\), которые являются пересечениями гиперболы и окружности, мы можем найти вектора \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\). Если \(A = (x_A, y_A)\) и \(B = (x_B, y_B)\), то:

\[\vec{OA} = \begin{bmatrix} x_A \\ y_A \end{bmatrix}\]

\[\vec{OB} = \begin{bmatrix} x_B \\ y_B \end{bmatrix}\]

Теперь, чтобы найти скалярное произведение \(\vec{OA} \cdot \vec{OB}\), умножим соответствующие компоненты векторов и сложим результаты:

\[\vec{OA} \cdot \vec{OB} = x_A \cdot x_B + y_A \cdot y_B\]

Это и будет искомым скалярным произведением векторов \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\).