Question

Найти определенный интеграл от 1 до -1 (х^3-3*x^2+4*x)dx

Answer 1

Я думаю пределы интегрирования от (-1) до 1. Тогда смотри решение во вложении

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод замены переменной. В данном случае, метод замены переменной будет более удобным.

Итак, у нас дан интеграл от функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x\) на интервале от 1 до -1. Для начала, давайте найдем первообразную этой функции.

Для этого, возьмем производную от \(f(x)\):

\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 4\)

Теперь найдем первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\), интегрируя \(f'(x)\):

\(F(x) = \int (3x^2 - 6x + 4) dx\)

Для интегрирования каждого слагаемого, мы используем стандартные формулы интегрирования:

\(\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3 + C_1\)

\(\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_2\)

\(\int dx = x + C_3\)

Где \(C_1\), \(C_2\) и \(C_3\) - произвольные постоянные.

Теперь мы можем найти первообразную \(F(x)\) для \(f(x)\):

\(F(x) = \int (3x^2 - 6x + 4) dx = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x + C\)

Где \(C\) - произвольная постоянная.

Теперь мы можем вычислить значение данного определенного интеграла:

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = F(1) - F(-1)\)

Подставим значения в \(F(x)\):

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = (\frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 + 4(1)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 - 2(-1)^2 + 4(-1))\)

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = (\frac{1}{3} - 2 + 4) - (\frac{-1}{3} - 2 - 4)\)

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = (\frac{1}{3} - 2 + 4) - (\frac{-1}{3} - 2 - 4)\)

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = \frac{1}{3} - 2 + 4 + \frac{1}{3} + 2 + 4\)

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 6\)

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = \frac{4}{3} + 6\)

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = \frac{4}{3} + \frac{18}{3}\)

\(\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 4x) dx = \frac{22}{3}\)

Таким образом, определенный интеграл от \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x\) на интервале от 1 до -1 равен \(\frac{22}{3}\).