Question

найти min и max f(x)=ln(x^2-2x+4)

Answer 1

Найдем производную функции:

f(x)'=(x^2-2x+4)'/x^2-2x+4=2x-2/x^2-2x+4

Приравняем к 0:

2x-2/x^2-2x+4=0

2x-2=0

x=1

x^2-2x+4=/0 ((=/)-не равен)

D=4-4*4=4-16=-12 (корней нет)

---------0-------------------->

     -     1             +

1-это точка min.

Answer 2

Для того чтобы найти минимум и максимум функции \( f(x) = \ln(x^2 - 2x + 4) \), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции: \[ f'(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 4} \cdot (2x - 2) \]

2. Найти критические точки: Найдем точки, где производная равна нулю или не существует. \[ 0 = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 4} \] Решив уравнение, получим \( x = 1 \).

3. Найти вторую производную: \[ f''(x) = \frac{2(x^2 - 2x + 4) - (2x - 2)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 4)^2} \]

4. Определить характер точек: - Если \( f''(x) > 0 \), то точка минимума. - Если \( f''(x) < 0 \), то точка максимума.

5. Определить значения функции в найденных точках и на границах области определения: - Подставим \( x = 1 \) в исходную функцию и найдем значение.

Итак, найдем все эти значения:

- Производная: \[ f'(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 4} \]

- Критическая точка: \[ f'(1) = \frac{2(1) - 2}{1^2 - 2(1) + 4} = 0 \]

- Вторая производная: \[ f''(x) = \frac{2(x^2 - 2x + 4) - (2x - 2)(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 4)^2} \] Подставим \( x = 1 \): \[ f''(1) = \frac{2(1^2 - 2 \cdot 1 + 4) - (2 \cdot 1 - 2)^2}{(1^2 - 2 \cdot 1 + 4)^2} \]

Теперь определим характер точки:

- Если \( f''(1) > 0 \), то это точка минимума. - Если \( f''(1) < 0 \), то это точка максимума.

Для завершения расчетов необходимо подставить значения функции в найденные точки и на границы области определения, чтобы определить минимум и максимум функции.