Question

Решите уравнение: 1/х(х-2) + 2/(х-1)^2 =2

Answer 1

$\tt \displaystyle \frac{1}{x(x-2)} +\frac{2}{(x-1)^2}=2$

ОДЗ: $\displaystyle \tt \left \{ {{x(x-2)\ne0} \atop {x-1\ne 0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{x_1\ne0;~~~x_2\ne 2} \atop {x_3\ne1}} \right.$

$\tt \displaystyle \frac{1}{x^2-2x} +\frac{2}{x^2-2x+1}=2$

Пусть $\tt x^2-2x=t$, получим $\tt \displaystyle \frac{1}{t} +\frac{2}{t+1}=2$

Умножим левую и правую части уравнения на $\tt t(t+1)\ne0$, получим

$\tt t+1+2t=2t(t+1)\\ \\ 3t+1=2t^2+2t\\ \\ 2t^2-t-1=0\\ D=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)=1+8=9\\ \\ t_1=\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a} =\dfrac{1+3}{2\cdot2} =1\\ \\ t_2=\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a} =\dfrac{1-3}{2\cdot2} =-0.5$

Возвращаемся к обратной замене

$\tt x^2-2x=1\\ x^2-2x-1=0\\ D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-1)=4+4=8\\ \\ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{2\pm 2\sqrt{2}}{2\cdot1} =\boxed{\tt 1\pm\sqrt{2}}$

$\tt x^2-2x=-0.5|\cdot 2\\ 2x^2-4x=-1\\ 2x^2-4x+1=0\\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot2\cdot1=16-8=8\\ \\ x_{3,4}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\dfrac{4\pm 2\sqrt{2}}{2\cdot2}= \boxed{\tt \frac{2\pm\sqrt{2}}{2}=1\pm\frac{1}{\sqrt{2}}}$

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, сначала приведем его к общему знаменателю:

1/х(х-2) + 2/(х-1)^2 = 2.

Умножим первое слагаемое на (х-1)^2, а второе на х(х-2):

(х-1)^2/х(х-2) + 2х(х-2)/(х-1)^2 = 2.

Теперь объединим дроби:

(х-1)^2/(х-2) + 2х(х-2)/(х-1)^2 = 2.

Раскроем скобки в первом слагаемом:

(х^2 - 2х + 1)/(х-2) + 2х(х-2)/(х-1)^2 = 2.

Умножим первое слагаемое на (х-1)^2, а второе слагаемое на х-2:

(х^2 - 2х + 1)(х-1)^2/(х-2)(х-1)^2 + 2х(х-2)(х-1)^2/(х-1)^2 = 2.

Сократим дробные выражения:

(х^2 - 2х + 1)(х-1)^2 + 2х(х-2)(х-1)^2 = 2(х-2)(х-1)^2.

Упростим уравнение:

(х^2 - 2х + 1)(х-1)^2 + 2х(х-2)(х-1)^2 - 2(х-2)(х-1)^2 = 0.

Факторизуем исходное уравнение:

(х-1)^2 [(х^2-2х+1) + 2х(х-2) - 2(х-2)] = 0.

(x-1)^2(x^2 - 2x + 1 + 2x^2 - 4x - 2x + 4) = 0.

(x-1)^2(3x^2 - 7x + 5) = 0.

Теперь используем метод факторизации для решения уравнения:

Последнее выражение не раскладывается на множители с равными коэффициентами, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(3)(5) = 49 - 60 = -11.

Так как дискриминант отрицательный, то у нас нет рациональных корней. Это значит, что уравнение не имеет решений.

Итак, уравнение 1/х(х-2) + 2/(х-1)^2 = 2 не имеет решений.