Question

Решить:sin(7x/2)*cos(3x/2)+sin(x/2)*cos(5x/2)+sin2x*cos7x=0

Answer 1

Вроде бы как то так получается

Answer 2

Для начала, давайте преобразуем данное уравнение:

sin(7x/2)*cos(3x/2) + sin(x/2)*cos(5x/2) + sin(2x)*cos(7x) = 0

Используя формулы тригонометрии, мы можем выразить углы 7x/2, 3x/2, x/2, 5x/2 в виде углов, кратных x:

sin(7x/2) = sin(3x + 2x/2) = sin(3x + x) = sin(4x) cos(3x/2) = cos(x + x/2) = cos(x + x) = cos(2x) sin(x/2) = sin(x/2 + 0) = sin(x/2 + 2x/4) = sin(2x/4 + x/4) = sin(3x/4) cos(5x/2) = cos(2x + 3x/2) = cos(2x + x) = cos(3x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(7x) = cos(3x + 4x) = cos(3x + 3x + x) = cos(6x + x) = cos(6x)cos(x) - sin(6x)sin(x)

Теперь наше уравнение выглядит следующим образом:

sin(4x)*cos(2x) + sin(3x/4)*cos(3x) + 2sin(x)cos(x)*cos(6x) - 2sin(x)cos(x)*sin(6x) = 0

Вынесем общий множитель sin(x):

sin(x) * (sin(4x)*cos(2x) + sin(3x/4)*cos(3x) + 2cos(x)*(cos(6x)*cos(x) - sin(6x)*sin(x)) = 0

Обратимся к основным тригонометрическим формулам:

sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a-b) + sin(a+b)) cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a-b) + cos(a+b)) sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a-b) - cos(a+b))

Применим эти формулы к нашему уравнению:

sin(x) * ((1/2)(sin(4x - 2x) + sin(4x + 2x)) + (1/2)(sin(3x/4 - 3x) + sin(3x/4 + 3x))) + 2cos(x)*((1/2)(cos(6x - x) + cos(6x + x))*cos(x) - (1/2)(cos(6x - x) - cos(6x + x))*sin(x)) = 0

sin(x) * (sin(2x) + sin(6x) + sin(-2x + 6x/4) + sin(6x + 2x/4)) + 2cos(x)*(cos(5x)cos(x) - cos(7x)sin(x)) = 0

Используем формулу суммы синусов sin(a) + sin(b) = 2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2):

sin(x) * (2sin(4x/2)cos(-x/2) + 2sin(4x/2)cos(4x/2)) + 2cos(x)*(cos(5x)cos(x) - cos(7x)sin(x)) = 0

sin(x) * 2sin(2x)cos(-x/2 + 2x/2) + 2cos(x)*(cos(5x)cos(x) - cos(7x)sin(x)) = 0

sin(x)*2sin(2x)cos(3x/2) + 2cos(x)*(cos(5x)cos(x) - cos(7x)sin(x)) = 0

Приведем подобные слагаемые:

2sin(x)*sin(2x)*cos(3x/2) + 2cos(x)*(cos(5x)*cos(x) - cos(7x)*sin(x)) = 0

Упростим:

sin(x)*sin(2x)*cos(3x/2) + cos(x)*cos(5x)*cos(x) - cos(x)*cos(7x)*sin(x) = 0

sin(x)*2sin(x)cos(x)*cos(3x/2) + cos(x)*(2cos^2(x) - 1)*cos(3x/2) - cos(x)*cos(7x)*sin(x) = 0

2sin^2(x)cos(3x/2) + (2cos^2(x) - 1)*cos(3x/2) - cos(7x)*sin(x) = 0

Приведем подобные слагаемые:

(2sin^2(x) + 2cos^2(x) - 1)cos(3x/2) - cos(7x)*sin(x) = 0

Используя тождество единицы sin^2(x) + cos^2(x) = 1, упростим:

(2 - 1)cos(3x/2) - cos(7x)*sin(x) = 0

cos(3x/2) - cos(7x)*sin(x) = 0

Приравняем каждый из множителей к нулю:

cos(3x/2) = 0

3x/2 = pi/2 + pi*n, где n - целое число

x = (2pi/3) + (4pi/3)*n, где n - целое число

Или

cos(7x)*sin(x) = 0

cos(7x) = 0 или sin(x) = 0

7x = pi/2 + pi*n или x = pi*n, где n - целое число

x = pi/14 + (pi/7)*n или x = pi*n, где n - целое число

Таким образом, получаем следующий ответ:

x = (2pi/3) + (4pi/3)*n, где n - целое число, x = pi/14 + (pi/7)*n или x = pi*n, где n - целое число.