Question

Решите уравнение 2cos2x+cosx=sin(3п/2+x)-2

Answer 1

Sin(3π/2+x)=-cosx

2cos2x+cosx= -cosx-2
2cos2x+2cosx= -2
2(cos2x+cosx)=-2
cos2x+cosx= -1
cosx= -1-cos2x
cosx= -(sin²x+cos²x)-(cos²x-sin²x)
cosx= -sin²x-cos²x-cos²x+sin²x
cosx= -2cos²x
2cos²x+cosx= 0
cosx(2cosx+1)= 0

cosx= 0              2cosx+1= 0

1)x= π/2+πk, k∈Z

2)cosx= -1/2

x=2π/3+2πk,k∈Z

Answer 2

К сожалению, у вас здесь нет явно выраженного уравнения для решения. Я могу помочь вам решить уравнение \(2\cos(2x) + \cos(x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 2\).

Давайте пошагово решим данное уравнение:

Начнем с упрощения тригонометрических функций:

1. Преобразуем \(\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x)\):

\(\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\) можно переписать как \(-\cos(x)\), так как \(\frac{3\pi}{2}\) соответствует точке на синусоиде, где косинус равен \(0\), а знак минуса указывает на фазовый сдвиг.

Уравнение теперь примет вид:

\(2\cos(2x) + \cos(x) = -\cos(x) - 2\)

2. Теперь объединим члены, содержащие \(\cos(x)\) в одну часть:

\(2\cos(2x) + \cos(x) + \cos(x) = -2\)

\(2\cos(2x) + 2\cos(x) = -2\)

3. Поделим обе части уравнения на \(2\):

\(\cos(2x) + \cos(x) = -1\)

4. Используем формулу для косинуса суммы:

\(\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1\)

Теперь у нас есть уравнение:

\(2\cos^2(x) - 1 + \cos(x) = -1\)

5. Давайте перепишем это уравнение в виде квадратного уравнения:

\(2\cos^2(x) + \cos(x) = 0\)

6. Факторизуем уравнение:

\(\cos(x)(2\cos(x) + 1) = 0\)

Отсюда получаем два возможных варианта:

- \(\cos(x) = 0\) - \(2\cos(x) + 1 = 0\)

7. Решим каждое уравнение отдельно:

a) \(\cos(x) = 0\)

Это уравнение имеет бесконечное количество решений для \(x\). Один из простых примеров: \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

b) \(2\cos(x) + 1 = 0\)

\(\cos(x) = -\frac{1}{2}\)

Это уравнение имеет конечное количество решений в пределах периода косинуса (\(0 \leq x \leq 2\pi\)). Точные значения можно получить из таблиц или калькулятора. Одно из таких решений: \(x = \frac{2\pi}{3}\).

Итак, общее решение уравнения \(2\cos(2x) + \cos(x) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 2\) включает в себя значения \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) и \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), где \(k\) и \(n\) - целые числа.