Question

16^sinx=(1/4)^2sin2x

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Давайте решим уравнение 16^sin(x) = (1/4)^(2sin(2x)).

1. Приведем обе стороны уравнения к одному основанию. Для этого воспользуемся тем, что \(a^{bc} = (a^b)^c\). Таким образом:

\(16^{\sin(x)} = (2^4)^{\sin(x)} = 2^{4\sin(x)}\).

Аналогично,

\((1/4)^{2\sin(2x)} = (2^{-2})^{2\sin(2x)} = 2^{-4\sin(2x)}\).

Теперь уравнение примет вид:

\(2^{4\sin(x)} = 2^{-4\sin(2x)}\).

2. Так как основание у обеих сторон уравнения одинаковое (2), мы можем приравнять показатели степеней:

\(4\sin(x) = -4\sin(2x)\).

3. Решим полученное уравнение. Разделим обе стороны на 4:

\(\sin(x) = -\sin(2x)\).

4. Применим тригонометрическую формулу двойного угла: \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\).

Подставим это выражение в уравнение:

\(\sin(x) = -2\sin(x)\cos(x)\).

5. Теперь у нас есть уравнение, включающее и синус, и косинус. Рассмотрим два случая:

a) \(\sin(x) = 0\). В этом случае решением будет любой угол \(x\), для которого \(\sin(x) = 0\), например, \(x = 0, \pi, 2\pi, \ldots\).

b) Если \(\sin(x) \neq 0\), мы можем делить обе стороны на \(\sin(x)\):

\(1 = -2\cos(x)\).

Решив это уравнение, получим \(\cos(x) = -1/2\). Это уравнение имеет два решения в интервале [0, \(2\pi\)), которые соответствуют углам, находящимся в третьем и четвертом квадрантах. Эти углы - \(2\pi/3\) и \(4\pi/3\).

Таким образом, общее решение уравнения \(16^{\sin(x)} = (1/4)^{2\sin(2x)}\) в интервале [0, \(2\pi\)) это \(x = 0, \pi, 2\pi/3, 4\pi/3\).