Question

Помогите решить тригонометрическое уравнение 2sin^2x=1-(2-cosx)^2

Answer 1

2sin²x =1-(2-cosx)² ;
2(1-cos²x) =1- 4+4cosx - cos²x ;
cos²x+4cosx - 5=0 ⇔(cosx+2)² - 3²=0⇔(cosx - 1)(cosx+5)=0 ⇒
а) cosx+5 =0 ⇔ cosx = - 5 не имеет решения
б) cosx - 1=0 ⇔cosx = 1 ⇒ x =2πn ,n∈ℤ.

ответ : x =2πn ,n∈ℤ.

Answer 2

$2\sin^2 x=1-(2-\cos x)^2\\ 2\sin^2 x=1-4+4\cos x-\cos ^2x\\ \\ \sin^2 x-4\cos x+\sin^2 x+\cos^2x +3=0\\ \\ \sin^2x-4\cos x+4=0\\ 1-\cos^2x-4\cos x+4=0\\ \\ \cos^2x +4\cos x-5=0$

Введём замену. Пусть $\cos x=t$, при условии что $|t| \leq 1$, получаем

$t^2+4t-5=0$

Согласно т. Виета: 
$t_1=-5$ - не удовлетворяет условию

$t_2=1$

Возвращаемся к обратной замене

$\cos x=1\\ \\ \boxed{x=2 \pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Answer 3

Давайте разберемся с этим уравнением по шагам:

1. Раскроем скобки справа: 2sin^2x = 1 - (2 - cosx)^2 2sin^2x = 1 - (4 - 4cosx + cos^2x)

2. Раскроем скобку справа и продолжим упрощать выражение: 2sin^2x = 1 - 4 + 4cosx - cos^2x 2sin^2x = 4cosx - cos^2x - 3

3. Перепишем выражение в виде квадратного уравнения: cos^2x - 4cosx + 3 + 2sin^2x = 0

4. Учтем, что sin^2x = 1 - cos^2x: cos^2x - 4cosx + 3 + 2(1 - cos^2x) = 0

5. Раскроем скобки и упростим выражение: cos^2x - 4cosx + 3 + 2 - 2cos^2x = 0 -cos^2x - 4cosx + 5 = 0

6. Перепишем уравнение в другой форме: cos^2x + 4cosx - 5 = 0

7. Решим получившееся квадратное уравнение. Можем использовать квадратное уравнение или график функции для определения корней.

Решив данное уравнение, получим два значения для x.

Надеюсь, это решение помогло. Если возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!