Question

На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. Найти на вероятность того, что среди 150 соединений произойдет: а) хотя бы 4 неправильных соединения; б) больше двух неправильных соединений.

Answer 1

Испытания Бернулли: пусть есть n независимых испытаний, вероятность успеха в каждом из них равна p, вероятность неудачи q = 1 - p. Тогда вероятность того, что будет ровно k успехов равна C(n, k) p^k q^(n - k), где C(n, k) - биномиальный коэффициент C(n, k) = n! / (k! (n - k)!)

В обоих случаях будем искать вероятность того, что описанное в условии не произойдет - так проще.

а) Противоположное событие: произвошло меньше 4 неправильных соединений (т.е. 0, 1, 2 или 3).
P(не было неудачных) = (1 - 0,02)^150 = 0.98^150 =  0.0483
P(одно неудачное) = 150 * (1 - 0,02)^149 * 0.02 = 0.1478
P(два неудачных) = 150 * 149 / 2 * (1 - 0,02)^148 * 0.02^2 = 0.2248
P(3) = 150 * 149 * 148 / 6 * (1 - 0.02)^147 * 0.02^3 = 0.2263

P(<4) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 + 0.2263 = 0.647
P(>=4) = 1 - 0.647 = 0.353

б) всё точно также, только не надо учитывать P(4).
P(<=2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.0483 + 0.1478 + 0.2248 = 0.421
P(>2) = 1 - 0.421 = 0.579

____________________________________________

Можно сравнить точные результаты с приближенными. Тут можно вопрольззоваться теоремой Пуассона, P(k) = (np)^(-k) / k! * exp(-np).
Легко проверить, что в этом приближении P(<=2) = 0.423... (ошибка в третьем знаке после запятой), P(<=3) = 0.64723... (ошибка в пятом знаке)

Answer 2

Для решения задачи с использованием биномиального распределения можно воспользоваться формулой Бернулли. Формула для вероятности успеха (в данном случае - неправильного соединения) в каждом из соединений выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где: - \( C_n^k \) - биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \), - \( p \) - вероятность неправильного соединения, - \( n \) - общее количество соединений, - \( k \) - количество неправильных соединений.

Для части (а) задачи, где необходимо найти вероятность того, что произойдет хотя бы 4 неправильных соединения, можно воспользоваться формулой для вычисления вероятности объединения нескольких событий:

\[ P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + \ldots + P(X = 150) \]

Для части (б) задачи, где необходимо найти вероятность того, что произойдет больше двух неправильных соединений, можно воспользоваться формулой для вычисления вероятности дополнения:

\[ P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)) \]

Теперь давайте выполним расчеты. Подставим значения в формулы:

\[ P(X \geq 4) = \sum_{k=4}^{150} C_{150}^k \cdot 0.02^k \cdot (1-0.02)^{150-k} \]

\[ P(X > 2) = 1 - \sum_{k=0}^{2} C_{150}^k \cdot 0.02^k \cdot (1-0.02)^{150-k} \]

Эти суммы можно рассчитать с использованием программного обеспечения, такого как Python или любой другой язык программирования с поддержкой математических операций.