Question

Найти площадь фигуру ,ограниченной линиями :y=-0,5x^2+2 и y=2-x

Answer 1

Y=-0,5x²+2  парабола ветвями вниз, вершина в точке (0,2), проходит через точка (-2,0) и (2,0).
у=2-х  прямая, проходит через точки (0,2) и (2,0)

$S= \int\limits^2_0 {((-0,5x^2+2)-(2-x))} \, dx = \int\limits^2_0 {(-0,5x^2+x)} \, dx =\\\\=(-\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2})_0^2=-\frac{8}{6}+2=-\frac{4}{3}+2=\frac{2}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения и интегрировать разность функций по оси x.

Для начала найдем точки пересечения двух кривых, y = -0,5x^2 + 2 и y = 2 - x:

-0,5x^2 + 2 = 2 - x

Перенесем все члены уравнения влево:

-0,5x^2 + x = 0

x(-0,5x + 1) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 2.

Подставим эти значения обратно в одно из уравнений, например в y = -0,5x^2 + 2, чтобы найти соответствующие y-координаты:

y(0) = -0,5(0)^2 + 2 = 2

y(2) = -0,5(2)^2 + 2 = -2 + 2 = 0

Таким образом, точки пересечения кривых - (0, 2) и (2, 0).

Теперь мы можем найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми.

Площадь будет равна интегралу разности функций по оси x на интервале [0, 2]:

S = ∫[0,2] (2 - x - (-0,5x^2 + 2)) dx

S = ∫[0,2] (2 - x + 0,5x^2 - 2) dx

S = ∫[0,2] (0,5x^2 - x) dx

S = [0,2] (0,5 * (x^3/3) - (x^2/2)) | from 0 to 2

S = (0,5 * (2^3/3) - (2^2/2)) - (0,5 * (0^3/3) - (0^2/2))

S = (0,5 * (8/3) - 2) - (0)

S = (4/3 - 2)

S = -2/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -0,5x^2 + 2 и y = 2 - x, равна -2/3.