Question

Доказать n^(5)-n делится на 5.

Answer 1

n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1) и пусть n-целое число

Если n=0, то n^5-n=0 и это выражение делится на 5. Если последняя цифра числа n равна нулю то первый множитель n кратен 10 и поэтому всё выражение делится на 5

Если n=1 или последняя цифра числа n оканчивается 1, то второй множитель (n^2-1) кратен 10, а значит всё выражение делится на 5.

Если n=2 или последняя цифра числа n оканчивается 2, то третий множитель (n^2+1) кратен 5, а значит всё выражение делится на 5.

Если n=3 или последняя цифра числа n оканчивается 3, то третий множитель (n^2+1) кратен 10, а значит всё выражение делится на 5.

 Если n=4 или последняя цифра числа n оканчивается 4, то второй множитель (n^2-1) кратен кратен 5, а значит всё выражение делится на 5.

Если n=5 или последняя цифра числа n оканчивается 5, то первый множитель n кратен 5, а значит всё выражение делится на 5.

Если n=6 или последняя цифра числа n оканчивается 6, то второй множитель (n^2-1) кратен кратен 5, а значит всё выражение делится на 5.

Если n=7 или последняя цифра числа n оканчивается 7, то третий множитель (n^2+1) кратен кратен 10, а значит всё выражение делится на 5.

Если n=8 или последняя цифра числа n оканчивается 8, то третий множитель (n^2+1) кратен кратен 5, а значит всё выражение делится на 5.

Если n=9 или последняя цифра числа n оканчивается 9, то второй множитель (n^2-1) кратен кратен 10, а значит всё выражение делится на 5.

Итак при любом целом n, n^5-n делится на 5

Answer 2

Мы можем доказать, что n^5 - n делится на 5 с помощью индукции.

1. Базовый шаг: Подставим n=1 в выражение n^5 - n. Получим 1^5 - 1 = 0, что является кратным 5.

2. Предположение индукции: Предположим, что n^5 - n делится на 5 для некоторого целого числа n.

3. Шаг индукции: Докажем, что выражение n^5 - n + 5(n^4 - 1) также делится на 5. n^5 - n + 5(n^4 - 1) = n^5 + 5n^4 - n - 5 = n(n^4 + 5n^3 - 1) - 5 Мы знаем, что n^5 - n делится на 5 по предположению индукции. Также, n^4 + 5n^3 - 1 является целым числом. Поэтому, мы можем выразить выражение n(n^4 + 5n^3 - 1) - 5 как произведение двух целых чисел: n и (n^4 + 5n^3 - 1). Поскольку n^5 - n делится на 5, и произведение двух целых чисел также делится на 5, то и выражение n^5 - n + 5(n^4 - 1) делится на 5.

Таким образом, мы доказали, что n^5 - n делится на 5 для всех целых чисел n с помощью метода математической индукции.