Question

Для функцii f(x) знайдiть первiсну, графiк якого проходить через точку М , якщо f(х)=4х(x^2-1), M(1,2)

Answer 1

$f(x)=4(x^3-x) \\ F(x)=4( \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} )+C=x^4-2x^2+C \\ \\ F(x)=x^4-2x^2+C ~~~~~~~~~~~M(1;2) \\ x=1,F(x)=2 \\ 1^4-2*1^2+C=2 \\ 1-2+C=2 \\ C-1=2 \\ C=3 \\ ~~~~\Downarrow \\ F(x)=x^4-2x^2+3$

Answer 2

Щоб знайти первісну для функції \( f(x) = 4x(x^2 - 1) \), спочатку розкриємо добуток і підсумуємо члени:

\[ f(x) = 4x^3 - 4x \]

Тепер знайдемо первісню для цієї функції. Для цього додамо 1 до ступеня поточного члена і поділимо на новий ступінь:

\[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C \]

де \( C \) - константа інтегрування.

Тепер, ми хочемо, щоб графік первісної проходив через точку \( M(1,2) \). Підставимо координати точки \( M \) у формулу первісної:

\[ 2 = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{2}(1)^2 + C \]

Спростимо це вираження:

\[ 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + C \]

Об'єднаємо дроби:

\[ 2 = -\frac{1}{4} + C \]

Тепер додамо \( \frac{1}{4} \) до обох боків:

\[ C = \frac{9}{4} \]

Отже, константа інтегрування \( C \) рівна \( \frac{9}{4} \).

Таким чином, первісна для функції \( f(x) = 4x(x^2 - 1) \), яка проходить через точку \( M(1,2) \), має вигляд:

\[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{9}{4} \]

Це рівняння задовольняє умову \( F(1) = 2 \), тобто графік проходить через точку \( M(1,2) \).