Question

найти критические точки и наименьшее значение функции у= - х/(х^2+81)

Answer 1

критические точки функции - это такие точки , что производная функции в этих точках равняется нулю.

берем производную  у '= (- х/(х^2+81)) '

y ' = -(81-x^2)/(x^2+81)^2

в точке x=9 и x=-9 производная равна нулю

проверяем на ОДЗ корни

ОДЗ от -бесконечности до + бесконечности 

значи и +9 и -9 критические точки

а минимальное значение функции будет при x=9

подставляем в изначальную функцию и получаем значение

y min = -1/18

***********************************

Answer 2

Давайте найдем критические точки функции \( y = -\frac{x}{x^2+81} \). Критические точки возникают там, где производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции: \[ y' = -\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^2+81}\right) \]

Используем правило частной производной:

\[ y' = -\frac{(x^2+81) - x(2x)}{(x^2+81)^2} \]

Упростим:

\[ y' = -\frac{x^2+81-2x^2}{(x^2+81)^2} \]

\[ y' = \frac{x^2-81}{(x^2+81)^2} \]

2. Найдем критические точки:

Найдем значения \( x \), при которых \( y' = 0 \) или не существует.

\[ \frac{x^2-81}{(x^2+81)^2} = 0 \]

Это равенство равно нулю только тогда, когда числитель равен нулю:

\[ x^2 - 81 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ x^2 = 81 \]

\[ x = \pm 9 \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \( x = -9 \) и \( x = 9 \).

3. Найдем вторую производную:

Для определения, является ли каждая критическая точка минимумом, максимумом или точкой перегиба, найдем вторую производную:

\[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}\left(\frac{x^2-81}{(x^2+81)^2}\right) \]

Выполним вычисления:

\[ y'' = \frac{(x^2+81)^2 \cdot 2x - 2 \cdot (x^2-81) \cdot 2(x)(2x)}{(x^2+81)^4} \]

Упростим:

\[ y'' = \frac{2x(x^2+81)^2 - 8x(x^2-81)^2}{(x^2+81)^4} \]

4. Определение характера критических точек:

Подставим значения \( x = -9 \) и \( x = 9 \) во вторую производную, чтобы определить характер каждой критической точки:

Для \( x = -9 \):

\[ y''(-9) = \frac{2(-9)(81+81)^2 - 8(-9)(81-81)^2}{(81+81)^4} \]

Для \( x = 9 \):

\[ y''(9) = \frac{2(9)(81+81)^2 - 8(9)(81-81)^2}{(81+81)^4} \]

Если \( y'' > 0 \), то это минимум, если \( y'' < 0 \), то это максимум. Если \( y'' = 0 \), то это точка перегиба.

Подставляя значения, мы можем определить характер каждой из точек \( x = -9 \) и \( x = 9 \).

Таким образом, вы найдете критические точки и определите, являются ли они минимумами, максимумами или точками перегиба.