Question

(1+x+x^2)(1+x+...+x^10)=(1+x+...+x^6)^2 . Помогите решить уравнение пожалуйста.

Answer 1

(1+х+х²)(1+х+...+х¹⁰)=(1+х+...+х⁶)²
Пусть:
f₁(х)=1+х+х²
f₂(x)=1+x+x²+...+x¹⁰
f₃(x)=(1+x+x²+...+x⁶)²
Все три функции монотонно возрастающие.Поэтому по соображении монотонности графика эти функции могут пересекаться только в одной точке, эта точка х=0
У них больше нет ни одной точки пересечения.
Надеюсь всё понятно (использовано свойство монотонной функции)

Answer 2

Уравнение, которое вы предоставили, связано с разложением многочлена в квадрат. Давайте разберемся с этим.

Разложение многочлена в квадрат

У нас дано уравнение: (1+x+x^2)(1+x+...+x^10) = (1+x+...+x^6)^2

Мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии, чтобы упростить выражение.

Формула для суммы геометрической прогрессии: S = a * (1 - r^n) / (1 - r), где S - сумма, a - первый член, r - знаменатель прогрессии, n - количество членов.

Разложение левой части уравнения

Давайте начнем с левой части уравнения: (1+x+x^2)(1+x+...+x^10).

Мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии, чтобы выразить это выражение в более простой форме.

Первый член геометрической прогрессии равен 1, знаменатель прогрессии равен x, и количество членов равно 11 (1 + x + x^2 + ... + x^10). Подставим эти значения в формулу:

(1+x+x^2)(1+x+...+x^10) = 1 * (1 - x^11) / (1 - x)

Разложение правой части уравнения

Теперь рассмотрим правую часть уравнения: (1+x+...+x^6)^2.

Мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии, чтобы выразить это выражение в более простой форме.

Первый член геометрической прогрессии равен 1, знаменатель прогрессии равен x, и количество членов равно 7 (1 + x + x^2 + ... + x^6). Подставим эти значения в формулу:

(1+x+...+x^6)^2 = (1 - x^7) / (1 - x)^2

Решение уравнения

Теперь у нас есть два выражения, которые представляют левую и правую части уравнения:

(1+x+x^2)(1+x+...+x^10) = 1 * (1 - x^11) / (1 - x)

(1+x+...+x^6)^2 = (1 - x^7) / (1 - x)^2

Чтобы решить уравнение, мы можем приравнять левую и правую части:

(1 - x^11) / (1 - x) = (1 - x^7) / (1 - x)^2

Теперь мы можем упростить это уравнение и решить его. Однако, для этого нам необходимы дополнительные данные о значении переменной x. Если у вас есть какие-либо дополнительные условия или значения для x, пожалуйста, предоставьте их, чтобы мы могли помочь вам с решением уравнения.