Question

Упростить выражение .sin(π-x)cos(x-π\2)-sin(x+π\2)cos(π-x)

Answer 1

=sin x•sin x-cos x•(-cos x)=sin^2x+cos^2x=1

Answer 2

Давайте упростим данное выражение шаг за шагом.

Имеем выражение: \( \sin(\pi - x)\cos(x - \frac{\pi}{2}) - \sin(x + \frac{\pi}{2})\cos(\pi - x) \).

1. Используем тригонометрические тождества: - Замечаем, что \( \sin(\pi - x) = \sin(\pi)\cos(x) - \cos(\pi)\sin(x) = 0 - (-\sin(x)) = \sin(x) \) (так как \(\sin(\pi) = 0\) и \(\cos(\pi) = -1\)). - Также, \( \cos(\pi - x) = -\cos(x) \) (так как \(\cos(\pi) = -1\)).

Подставим эти значения в выражение:

\[ \sin(x)\cos(x - \frac{\pi}{2}) + \sin(x + \frac{\pi}{2})\cos(x) \]

2. Используем формулу сложения для синуса и косинуса:

- \(\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)\) - \(\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)\)

Применяем формулу к \(\sin(x + \frac{\pi}{2})\):

\[ \sin(x)\cos(x - \frac{\pi}{2}) + (\cos(x)\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(x)\sin(\frac{\pi}{2}))\cos(x) \]

Упростим \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) и \(\sin(\frac{\pi}{2}) = 1\):

\[ \sin(x)\cos(x - \frac{\pi}{2}) + \cos(x)\cos(x) \]

3. Применяем формулу удвоения для синуса:

- \(\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)\)

Применяем формулу к \(\sin(x)\cos(x - \frac{\pi}{2})\):

\[ 2\sin(x)\cos(x)\cos(x) + \cos(x)\cos(x) \]

4. Упрощаем:

\[ 2\sin(x)\cos^2(x) + \cos^2(x) \]

5. Выносим общий множитель \(\cos^2(x)\):

\[ \cos^2(x)(2\sin(x) + 1) \]

Таким образом, упрощенное выражение равно \( \cos^2(x)(2\sin(x) + 1) \).