Question

Найдите общий вид первообразных для функции: f(x)=x-10cos2x

Answer 1

$\frac{x^2}{2}-5sin2x+const$

Answer 2

Чтобы найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = x - 10\cos(2x) \), нужно проинтегрировать \( f(x) \) по переменной \( x \). Для этого будем интегрировать каждый член по отдельности.

Интеграл от \( x \) по переменной \( x \) равен \( \frac{x^2}{2} + C_1 \), где \( C_1 \) - произвольная постоянная.

Интеграл от \( \cos(2x) \) по переменной \( x \) можно найти с помощью метода подстановки. Подставим \( u = 2x \), тогда \( du = 2dx \) или \( dx = \frac{du}{2} \).

\(\int 10\cos(2x) \, dx = 10 \int \cos(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{10}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{10}{2} \cdot \sin(u) + C_2 = 5\sin(2x) + C_2\), где \( C_2 \) - ещё одна произвольная постоянная.

Теперь объединим найденные интегралы:

\[ F(x) = \frac{x^2}{2} - 10\sin(2x) + C \]

Где \( C \) - константа интегрирования, равная сумме \( C_1 \) и \( C_2 \).