Question

найдите интеграл от 0 до pi/2 (1/2 sin x/2+1/3 cos x/3) dx и интеграл от 1 до 4 (x^(2)+x корень из x+x/корень из x) dx

Answer 1

$\\\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{2}\sin \frac{x}{2} + \frac{1}{3}\cos \frac{x}{3}}\, dx=\\ \frac{1}{2}\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\, dx+\frac{1}{3}\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos \frac{x}{3}}\, dx=(*)\\ t=\frac{x}{2},u=\frac{x}{3}\\ dt=\frac{1}{2}\,dx,du=\frac{1}{3}\,dx\\ \frac{1}{2}\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{2\sin t}\, dt+\frac{1}{3}\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{3\cos u}\, du=\\ \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin t}\, dt+\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos u}\, du=\\ \Big[-\cos t\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+\Big[\sin u\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=\\ (*)=\Big[-\cos \frac{x}{2}\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+\Big[\sin \frac{x}{3}\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=\\ -\cos \frac{\pi}{4}-(-\cos 0)+\sin \frac{\pi}{6}-\sin 0=\\ -\frac{\sqrt2}{2}+1+\frac{1}{2}=\\ -\frac{\sqrt2}{2}+\frac{3}{2}$

 

$\\\int \limits_1^4 {x^2+\sqrt x+\frac{x}{\sqrt x}}\, dx=\\ \int \limits_1^4 {x^2+\sqrt x+\sqrt x}\, dx=\\ \int \limits_1^4 {x^2+2\sqrt x}\, dx=\\ \Big[\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\Big]_1^4=\\ \Big[\frac{x^3}{3}+\frac{4x^{\frac{3}{2}}}{3}\Big]_1^4=\\ \frac{4^3}{3}+\frac{4\cdot4^{\frac{3}{2}}}{3}-(\frac{1^3}{3}+\frac{4\cdot1^{\frac{3}{2}}}{3})=\\ \frac{64}{3}+\frac{4^{\frac{5}{2}}}{3}-(\frac{1}{3}+\frac{4}{3})=\\ \frac{64}{3}+\frac{2^{\frac{10}{2}}}{3}-\frac{5}{3}=\\ \frac{59}{3}+\frac{32}{3}=\\ \frac{91}{3}$

 

Answer 2

Чтобы найти интегралы, давайте рассмотрим их по очереди.

Интеграл от 0 до pi/2 (1/2 sin(x/2) + 1/3 cos(x/3)) dx:

Для начала, давайте найдем интеграл от 1/2 sin(x/2). Чтобы это сделать, воспользуемся формулой интегрирования синуса: ∫ sin(ax) dx = -1/a cos(ax). Применяя эту формулу, получим:

∫ (1/2 sin(x/2)) dx = -2 cos(x/2)

Теперь найдем интеграл от 1/3 cos(x/3). Используем формулу интегрирования косинуса: ∫ cos(ax) dx = 1/a sin(ax). Применяя эту формулу, получим:

∫ (1/3 cos(x/3)) dx = 3 sin(x/3)

Теперь сложим полученные результаты:

∫ (1/2 sin(x/2) + 1/3 cos(x/3)) dx = -2 cos(x/2) + 3 sin(x/3)

Теперь вычислим значение интеграла от 0 до pi/2. Подставим верхний и нижний пределы интегрирования в полученное выражение:

∫[0, pi/2] (1/2 sin(x/2) + 1/3 cos(x/3)) dx = -2 cos(pi/4) + 3 sin(pi/6) - (-2 cos(0) + 3 sin(0))

Вычисляя значения тригонометрических функций, получим окончательный результат.

Интеграл от 1 до 4 (x^2 + x + sqrt(x) + x/sqrt(x)) dx:

В этом интеграле у нас есть несколько слагаемых. Давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.

Найдем интеграл от x^2. Для этого воспользуемся формулой интегрирования степенной функции: ∫ x^n dx = (1/(n+1)) x^(n+1). Применяя эту формулу, получим:

∫ x^2 dx = (1/3) x^3

Теперь найдем интеграл от x. Согласно формуле интегрирования степенной функции, получим:

∫ x dx = (1/2) x^2

Теперь рассмотрим интеграл от sqrt(x). Воспользуемся формулой интегрирования корневой функции: ∫ sqrt(x) dx = (2/3) x^(3/2). Применяя эту формулу, получим:

∫ sqrt(x) dx = (2/3) x^(3/2)

Наконец, рассмотрим интеграл от x/sqrt(x). Здесь можно упростить и получить:

∫ x/sqrt(x) dx = ∫ sqrt(x) dx = (2/3) x^(3/2)

Теперь сложим все полученные результаты:

∫ (x^2 + x + sqrt(x) + x/sqrt(x)) dx = (1/3) x^3 + (1/2) x^2 + (2/3) x^(3/2) + (2/3) x^(3/2)

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования и вычислим значение интеграла от 1 до 4:

∫[1, 4] (x^2 + x + sqrt(x) + x/sqrt(x)) dx = ((1/3) 4^3 + (1/2) 4