Question

Образующая конуса равна 4см, а угол при вершине осевого сечения равен 90° . Найдите объём конуса

Answer 1

Из условия $\angle ASB=90а$, значит $\angle SAB=\angle SBA= \dfrac{180а-90а}{2}=45а$. Следовательно, $з SAB$ - равнобедренный прямоугольный, SA = SB = 4 см, тогда $AB=SA \sqrt{2} =4 \sqrt{2}$ см. AB - диаметр основания, тогда $AO=OB= \dfrac{AB}{2} =2 \sqrt{2}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB: $\angle OBS=\angle OSB=45а$, следовательно, $SO=OB=2 \sqrt{2}$ см.

Находим объем конуса $V= \frac{1}{3} \pi r^2h= \frac{1}{3} \pi \cdot(2 \sqrt{2} )^2\cdot2 \sqrt{2} = \dfrac{16 \pi \sqrt{2} }{3}$ см³


Ответ: $\dfrac{16 \pi \sqrt{2} }{3}$  cм³.

Answer 2

Образующая конуса (линия, соединяющая вершину конуса с точкой на окружности его основания) и угол при вершине осевого сечения (плоскость, проходящая через вершину конуса и центр его основания) образуют прямоугольный треугольник внутри конуса. Если образующая конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90 градусов, то у нас есть прямоугольный конус.

Обозначим:

- \( r \) - радиус основания конуса, - \( l \) - образующая конуса, - \( h \) - высота конуса.

В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной образующей и высотой, у нас есть следующее соотношение по теореме Пифагора:

\[ r^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = h^2 \]

Мы знаем, что \( l = 4 \) см. Разрешим это уравнение относительно \( r \) и \( h \):

\[ r^2 + 2^2 = h^2 \] \[ r^2 + 4 = h^2 \] \[ r^2 = h^2 - 4 \]

Теперь, чтобы найти объем конуса, используем формулу для объема конуса:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Подставим \( r^2 = h^2 - 4 \) в формулу:

\[ V = \frac{1}{3} \pi (h^2 - 4)h \]

\[ V = \frac{\pi}{3} (h^3 - 4h) \]

Таким образом, объем конуса равен \(\frac{\pi}{3} (h^3 - 4h)\), где \(h\) - высота конуса.