Question

Найдите угол между касательной к графику функции y=x^4-2x^3+3 в точке с абсциссой x0=1/2 и осью Ox

Answer 1

$y = x^4-2x^3+3 \\ y' = 4x^3 -6x^2 = 2x^2(2x-3)$
Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной:
$y'(x_0) = y'(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2})^2(2(\frac{1}{2}) - 3) = \frac{1}{2}(1-3)= -1$
$arctg(-1) = -\frac{ \pi }{4} + \pi n, n \in Z$
Так как ∠α ∈ [0°; 180°), то α = 3Pi/4 = 135°

Ответ: 135°

Answer 2

Чтобы найти угол между касательной к графику функции \(y = x^4 - 2x^3 + 3\) в точке с абсциссой \(x_0 = \frac{1}{2}\) и осью \(Ox\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \(y = x^4 - 2x^3 + 3\). 2. Найдите угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = \frac{1}{2}\). 3. Используйте найденный угловой коэффициент для нахождения угла наклона касательной к оси \(Ox\).

Давайте выполним эти шаги по порядку:

1. Найдем производную функции \(y = x^4 - 2x^3 + 3\):

\[y' = 4x^3 - 6x^2\]

2. Найдем угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = \frac{1}{2}\) подставив \(x = \frac{1}{2}\) в производную:

\[y'(x_0) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6\left(\frac{1}{2}\right)^2\]

Вычисляем:

\[y'\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке \(x_0 = \frac{1}{2}\) равен \(-\frac{1}{2}\).

3. Теперь найдем угол \(\theta\) между касательной и осью \(Ox\). Угловой коэффициент касательной равен \(-\frac{1}{2}\), что соответствует тангенсу угла \(\theta\). Таким образом,

\[\tan(\theta) = -\frac{1}{2}\]

Теперь найдем угол:

\[\theta = \arctan\left(-\frac{1}{2}\right)\]

Это значение можно вычислить с помощью калькулятора. Обычно, \(\arctan\) обозначается как \(\tan^{-1}\). Таким образом,

\[\theta \approx -26.57^\circ\]

Таким образом, угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_0 = \frac{1}{2}\) и осью \(Ox\) составляет примерно \(-26.57^\circ\). Отрицательный знак указывает на то, что направление касательной склонено вниз от положительного направления оси \(Ox\).