Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=1/2cos2x+sinx на отрезке [0;π/2] пожалуйста с объяснением

Answer 1

1/2cos2x=1/2(1-2sin^2x)=1/2-sin^2x
f'(x)=-2sinxcosx+cosx=cosx(1-2sinx)
cosx=0   x=П/2
sins=1/2  x=П/6
y=1/2cos2x+sinx
y(0)=1/2
y(П/2)=1-1/2=1/2 min
y(П/6)=1/4+1/2=3/4 max

Answer 2

Давайте найдем наибольшее и наименьшее значения функции \( y = \frac{1}{2}\cos(2x) + \sin(x) \) на отрезке \([0, \frac{\pi}{2}]\).

1. Нахождение критических точек: - Найдем производную функции \(y\) по \(x\): \[ y' = -\sin(2x) + \cos(x) \]

- Найдем точки, где производная равна нулю: \[ -\sin(2x) + \cos(x) = 0 \]

Это уравнение сложное, но мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Заметим, что \(-\sin(2x) = -2\sin(x)\cos(x)\). Подставим это в уравнение: \[ -2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0 \]

Приравняем каждый множитель к нулю: - \( \sin(x) = 0 \) или \( \cos(x) = \frac{1}{2} \)

Из первого уравнения получаем, что \( x = 0 \) или \( x = \pi \). Из второго уравнения \( \cos(x) = \frac{1}{2} \) получаем \( x = \frac{\pi}{3} \) (так как на интервале \([0, \frac{\pi}{2}]\), \(\cos(x) > 0\)).

Таким образом, у нас три критические точки: \( x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi \).

2. Нахождение значений функции в конечных точках и критических точках: - Вычислим значения функции в конечных точках отрезка: \( x = 0 \) и \( x = \frac{\pi}{2} \). \[ y(0) = \frac{1}{2}\cos(0) + \sin(0) = \frac{1}{2} \] \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2}\cos(\pi) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \]

- Теперь вычислим значения функции в критических точках: \[ y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \] \[ y\left(\pi\right) = \frac{1}{2}\cos(2\pi) + \sin(\pi) \]

3. Сравнение значений и выбор наибольшего и наименьшего: - Сравним значения в точках: \(y(0)\), \(y(\frac{\pi}{3})\), \(y(\pi)\), и \(y(\frac{\pi}{2})\).

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке \([0, \frac{\pi}{2}]\) - \(0\), оно достигается в точке \(x = \frac{\pi}{2}\), а наибольшее значение - \(\frac{1}{2}\), оно достигается в точке \(x = 0\).