Question

-2 < корень из x <1. Мне нужно объяснение почему нельзя возвести в квадрат это неравенство и решить его

Answer 1

Возводим в квадрат
( - 2)^2 = 4
1^2 = 1
4 < х < 1
Неверное равенство, нет решений

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство:

\[ -2 < \sqrt{x} < 1 \]

Чтобы решить это неравенство, нужно избавиться от корня. Однако, проблема заключается в том, что здесь присутствует корень из \(x\), и он может быть любым неотрицательным числом. Когда мы возводим обе стороны неравенства в квадрат, мы можем потерять информацию о знаке переменной \(x\).

Допустим, мы возвели обе стороны в квадрат:

\[ (-2)^2 < (\sqrt{x})^2 < 1^2 \]

Это приведет к следующему:

\[ 4 < x < 1 \]

Однако, такое неравенство не имеет смысла, потому что оно противоречит себе (нет числа, которое может быть одновременно больше 4 и меньше 1). Это произошло из-за того, что мы потеряли информацию о знаке корня \(\sqrt{x}\). Возможно, \(x\) может быть отрицательным, и возводя его в квадрат, мы теряем эту часть решения.

Чтобы правильно решить это неравенство, нужно воспользоваться другими методами. Один из способов - возвести обе стороны в квадрат только после того, как мы убедимся, что выражение под корнем неотрицательно. Давайте это сделаем:

\[ -2 < \sqrt{x} < 1 \]

\[ (-2)^2 < (\sqrt{x})^2 < 1^2 \]

\[ 4 < x < 1 \]

Теперь заметим, что корень из \(x\) не может быть отрицательным, следовательно, мы можем возвести обе стороны неравенства в квадрат:

\[ 16 < x < 1 \]

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал \(16 < x < 1\).