Question

Найти натуральные числа,образующие арифметическую прогрессию, если произведение трех и четырех первых ее членов равны соответственно 15 и 105

Answer 1

Вот натуральные числа образующие ар. прогрессию 1 3 5 7

Answer 2

Пусть первый член арифметической прогрессии равен a, а ее разность равна d. Тогда второй член будет равен a + d, третий - a + 2d, четвертый - a + 3d.

По условию задачи, произведение трех первых членов арифметической прогрессии равно 15: a(a + d)(a + 2d) = 15 (1)

Произведение четырех первых членов арифметической прогрессии равно 105: a(a + d)(a + 2d)(a + 3d) = 105 (2)

Решим систему уравнений (1) и (2) для a и d.

Из уравнения (1) получаем: a^3 + 3a^2d + 2ad^2 = 15 (3)

Из уравнения (2) получаем: a^4 + 6a^3d + 11a^2d^2 + 6ad^3 = 105 (4)

Из уравнения (3) выразим a^3 через 3a^2d и подставим в уравнение (4): (3a^2d) + 2ad^2 + 6a^3d + 11a^2d^2 + 6ad^3 = 105

Упростим это уравнение: 3ad^2 + 6a^3d + 11a^2d^2 + 6ad^3 = 105 (5)

Теперь решим уравнение (5) относительно d: 3ad^2 + 6a^3d + 11a^2d^2 + 6ad^3 - 105 = 0

Подставим a = 1 и начнем перебирать значения d, пока не найдем натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению.

При d = 1: 3a + 6a^3 + 11a^2 + 6a - 105 = 0 6a^3 + 11a^2 + 9a - 105 = 0

Подставим a = 1 и начнем перебирать значения d, пока не найдем натуральные числа, удовлетворяющие этому уравнению.

При d = 1: 6 + 11 + 9 - 105 = 0

Уравнение не имеет рациональных корней при данных значениях a и d. Поэтому, не существует арифметической прогрессии, чье произведение трех и четырех первых членов равно 15 и 105 соответственно.