Question

У=х^2+6х-4 . А) при каких значениях Х функция принимает положительный и отрицательные значения. б) указать промежудки возростания и убывания . в) найти наибольшее и наименьшее значение функции.

Answer 1

Обычная парабола. Ветви вверх. Значит наименьшее значение принимает в вершине параболы. Определяешь координаты вершины по извесьной формуле или выделаешь полный квадрат, чтобы определить абсцису вершины

Answer 2

Дано уравнение функции: У = х^2 + 6х - 4.

Часть а: Положительные и отрицательные значения функции

Для определения положительных и отрицательных значений функции, мы можем использовать метод анализа знаков. Для этого мы должны решить неравенство уравнения:

У > 0 (положительные значения функции)

У < 0 (отрицательные значения функции)

Решим неравенства:

У > 0:

х^2 + 6х - 4 > 0

Для решения этого квадратного неравенства, мы можем использовать метод интервалов. Сначала найдем корни уравнения х^2 + 6х - 4 = 0.

Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac.

В данном случае, a = 1, b = 6 и c = -4.

D = (6)^2 - 4(1)(-4) = 36 + 16 = 52.

Так как дискриминант D > 0, то уравнение имеет два различных корня.

Найдем корни уравнения, используя формулу: x = (-b ± √D) / 2a.

x = (-6 ± √52) / 2 = (-6 ± 2√13) / 2 = -3 ± √13.

Таким образом, уравнение имеет два корня: -3 + √13 и -3 - √13.

Теперь, используя эти корни, мы можем построить таблицу знаков, чтобы определить значения функции:

-3 - √13 -3 + √13 -----------|--------------|------------- -3

Теперь мы можем выбрать значения внутри каждого интервала и проверить, какая часть функции положительная или отрицательная.

Проверим первый интервал (-∞, -3 - √13):

Выберем x = -4. Подставим это значение в исходное уравнение:

У = (-4)^2 + 6(-4) - 4 = 16 - 24 - 4 = -12.

Таким образом, в этом интервале функция принимает отрицательные значения.

Проверим второй интервал (-3 - √13, -3 + √13):

Выберем x = -3. Подставим это значение в исходное уравнение:

У = (-3)^2 + 6(-3) - 4 = 9 - 18 - 4 = -13.

Таким образом, в этом интервале функция также принимает отрицательные значения.

Проверим третий интервал (-3 + √13, +∞):

Выберем x = -2. Подставим это значение в исходное уравнение:

У = (-2)^2 + 6(-2) - 4 = 4 - 12 - 4 = -12.

Таким образом, в этом интервале функция также принимает отрицательные значения.

Часть б: Промежутки возрастания и убывания

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы можем использовать производную функции. Найдем производную функции У:

У' = 2х + 6.

Решим уравнение У' = 0, чтобы найти критические точки функции:

2х + 6 = 0.

2х = -6.

х = -3.

Таким образом, x = -3 является критической точкой функции.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для производной функции:

-∞ -3 +∞ -----------|--------------|------------- -3

Теперь мы можем выбрать значения внутри каждого интервала и проверить, какая часть функции возрастает или убывает.

Проверим первый интервал (-∞, -3):

Выберем x = -4. Подставим это значение в производную функции:

У' = 2(-4) + 6 = -8 + 6 = -2.

Таким образом, в этом интервале функция убывает.

Проверим второй интервал (-3, +∞):

Выберем x = -2. Подставим это значение в производную функции:

У' = 2(-2) + 6 = -4 + 6 = 2.

Таким образом, в этом интервале функция возрастает.

Часть в: Наибольшее и наименьшее значение функции

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, мы можем использовать критические точки, которые мы уже нашли.

Мы знаем, что x = -3 является критической точкой функции. Теперь мы можем найти значение функции в этой точке, а также значения функции на бесконечностях.

Подставим x = -3 в исходное уравнение:

У = (-3)^2 + 6(-3) - 4 = 9 - 18 - 4 = -13.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -13.

Также, мы можем рассмотреть значение функции на бесконечностях:

При x -> -∞, значение функции стремится к +∞.

При x -> +∞, значение функции также стремится к +∞.

Таким образом, наибольшее значение функции не существует, так как функция стремится к положительной бесконечности.

В итоге, ответы на заданные вопросы: а) Функция принимает отрицательные значения на интервалах (-∞, -3 - √13) и (-3 - √13, +∞). б) Функция убывает на интервале (-∞, -3) и возрастает на интервале (-3, +∞). в) Наименьшее значение функции равно -13, а наибольшего значения функция не имеет, так как стремится к положительной бесконечности.