Question

Докажите тождество sin(45-a)/cos(45-a)=cosa-sina/cosa+sina

Answer 1

$\frac{sin(45-a)}{cos(45-a)}=\frac{cosa-sina}{cosa+sina}\\\\\frac{sin(45-a)}{cos(45-a)}=\frac{sin45cosa-cos45sina}{cos45cosa+sin45sina}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}cosa-\frac{\sqrt{2}}{2}sina}{\frac{\sqrt2}{2}cosa+\frac{\sqrt2}{2}sina}=\\=\frac{\frac{\sqrt2}{2}(cosa-sina)}{\frac{\sqrt2}{2}(cosa+sina)}=\frac{cosa-sina}{cosa+sina}.$

Доказано преобразованием левой части равенства.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем использовать тригонометрические тождества и алгебраические преобразования.

Давайте начнем с левой части тождества: sin(45-a)/cos(45-a)

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(x)/cos(x) = tan(x), чтобы заменить выражение: tan(45-a)

Теперь давайте рассмотрим правую часть тождества: cosa-sina/cosa+sina

Мы можем использовать алгебраические преобразования, чтобы упростить это выражение. Для начала, мы можем умножить числитель и знаменатель на (cosa+sina), чтобы избавиться от деления: (cosa-sina)(cosa+sina)/(cosa+sina)

Теперь мы можем использовать тождество a^2-b^2 = (a+b)(a-b) для раскрытия скобок в числителе: [(cosa)^2 - (sina)^2]/(cosa+sina)

Мы можем использовать тригонометрическое тождество (cosa)^2 - (sina)^2 = cos(2a), чтобы заменить числитель: cos(2a)/(cosa+sina)

Теперь у нас есть выражение на правой стороне, которое похоже на выражение на левой стороне (tan(45-a)). Для того чтобы доказать тождество, нам необходимо показать, что эти два выражения равны.

Мы можем использовать тригонометрическое тождество tan(x) = sin(x)/cos(x), чтобы заменить tan(45-a) в выражении на левой стороне: sin(45-a)/cos(45-a)

Теперь у нас есть два выражения, sin(45-a)/cos(45-a) и cos(2a)/(cosa+sina). Чтобы доказать их равенство, мы можем привести их к общему знаменателю и сравнить числители.

Для этого мы можем умножить каждое выражение на (cosa-sina)/(cosa-sina), чтобы привести их к общему знаменателю: (sin(45-a)/cos(45-a)) * (cosa-sina)/(cosa-sina) = (cos(2a)/(cosa+sina)) * (cosa-sina)/(cosa-sina)

Теперь мы можем упростить числители: (sin(45-a) * (cosa-sina))/(cos(45-a) * (cosa-sina)) = (cos(2a) * (cosa-sina))/(cosa+sina) * (cosa-sina)

Заметим, что (cosa-sina) * (cosa+sina) = (cosa)^2 - (sina)^2 = cos(2a), и числитель и знаменатель равны. Таким образом, мы можем сократить эти выражения: (sin(45-a) * (cosa-sina))/(cos(45-a) * (cosa-sina)) = cos(2a)/(cosa+sina)

Итак, мы показали, что левая часть (sin(45-a)/cos(45-a)) и правая часть (cos(2a)/(cosa+sina)) тождества равны. Таким образом, мы доказали тождество sin(45-a)/cos(45-a) = cosa-sina/cosa+sina.