Question

В качестве проводников Иван-Царевич взял с собой говорящего кота и мудрую сову. Три попутчика дошли до долины каменных Истуканов. Оттуда к замку Кощея Бессмертного ведет прямая тропа длиной 100 м. Иван-Царевич, говорящий кот и мудрая сова знают, что первый прошедший по тропе окаменеет в произвольном месте, такая же участь ждет и второго. Оба оживут в тот момент, когда третий будет идти по тропе и суммарное расстояние от него до окаменеет спутников будет в точности равно 100 м. Могут ли Иван-Царевич, говорящий кот и мудрая сова добраться до замка Кощея Бессмертного без риска окаменеть навсегда?

Answer 1

Пусть а - точка, в которой окаменел второй, x - координата третьего.
Тогда сумма расстояний от него до двоих спутников описывается функцией
f(x) = x +|x-a|.
При х = 0 ее значение f(0) = 0 +|0-a| = а <100. 
А при х = 100 ее значение f(100) = 100 +|100-a| = 200-а >100
Так как функция непрерывна, то по теореме Больцано-Коши она принимает промежуточное значение, равное 100, между точками х=0 и 100, то есть между началом и концом тропы.

Answer 2

Да, Иван-Царевич, говорящий кот и мудрая сова могут добраться до замка Кощея Бессмертного без риска окаменеть навсегда.

Для решения этой задачи нужно использовать логику и математику. Давайте разберемся пошагово:

1) Пусть тропа длиной 100 метров будет представлена в виде числовой оси. Пусть начало этой оси будет точкой, откуда начинается тропа, а конец - точкой, где находится замок Кощея Бессмертного.

2) Предположим, что Иван-Царевич и его попутчики начинают движение по тропе. Пусть они движутся вперед, от начала к концу тропы.

3) Пусть первый попутчик (назовем его А) проходит определенное расстояние по тропе, пока не окаменеет. Обозначим это расстояние как Х.

4) В момент, когда А окаменеет, пусть второй попутчик (назовем его В) находится на расстоянии Х от начала тропы. Пусть В продолжает двигаться вперед по тропе, пока третий попутчик (назовем его С) не достигнет точки, где находится В.

5) В этот момент, когда С достигает точки, где находится В, оба попутчика (В и С) оживают, так как суммарное расстояние от С до окаменевших спутников (А и В) становится равным 100 метрам.

Таким образом, Иван-Царевич, говорящий кот и мудрая сова могут добраться до замка Кощея Бессмертного без риска окаменеть навсегда. Они должны пройти по тропе следующим образом: А должен пройти расстояние X, В должен продолжить движение после окаменения А, а С должен достичь точки, где находится В.