Question

Производная x^-1 и производная кубического корня из х

Answer 1

$f'(x^{-1})= (\frac{1}{x})'= \frac{1'*x-1*x'}{x^2}= \frac{0-1}{x^2}=- \frac{1}{x^2}$

$f'( \sqrt[3]{x})=(x^{ \frac{1}{3} })'= \frac{1}{3}x^{- \frac{2}{3} } = \frac{1}{3}* \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} }= \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }$

Answer 2

Конечно, давайте посчитаем производные функций.

1. Производная функции \( f(x) = x^{-1} \): Для нахождения производной данной функции, воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции \( x^n \), где \( n \) - степень.

Правило: Если \( f(x) = x^n \), то \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \).

Применяем это правило к функции \( f(x) = x^{-1} \): \[ f'(x) = -1 \cdot x^{-1-1} = -x^{-2} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = x^{-1} \) равна \( -x^{-2} \).

2. Производная функции \( g(x) = \sqrt[3]{x} \):

Для нахождения производной кубического корня воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Правило: Если \( g(x) = f(h(x)) \), то \( g'(x) = f'(h(x)) \cdot h'(x) \).

В данном случае, \( f(u) = \sqrt[3]{u} \) и \( h(x) = x \). Таким образом, \( u = x \).

Найдем производные: - \( f'(u) \) - производная кубического корня, равна \( \frac{1}{3u^{2/3}} \). - \( h'(x) \) - производная переменной \( x \), равна 1.

Теперь применяем формулу для производной сложной функции: \[ g'(x) = f'(u) \cdot h'(x) = \frac{1}{3x^{2/3}} \cdot 1 = \frac{1}{3x^{2/3}} \]

Таким образом, производные данных функций:

1. \( f'(x) = -x^{-2} \) 2. \( g'(x) = \frac{1}{3x^{2/3}} \)