Question

Решите уравнение:1 + cos x = ctg x/2

Answer 1

2cos²x/2-(cosx/2)/(sinx/2)=0

2cos²x/2 * sinx/2-cos x/2=0

ОДЗ: sin x/2≠0

x≠2πn

 

cos x/2 *sinx-cos x/2=0

cos x/2(sinx-1)=0

1) cos x/2=0

    x=π+2πn, n∈Z

2) sinx=1

    x=π/2+2πk,k∈Z

Answer 2

1. 1+cos(x)=ctg(x/2)

Выразив cosx через tg(x/2) и сделав замену переменной: tg(x/2) = t, получим алгебраическое уравнение:

$1+(1-t^2)/(1+t^2)=1/t$

Которое приводится к простейшему уравнению:

$2t=t^2+1 \\ t^2-2t+1=0 \\\ t=1$

 tg(x/2)=1

x/2 = pi/4 + pi*k

x = pi/2  +  2pi*k,  k прин. Z

Answer 3

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Начнем с уравнения: 1 + cos(x) = ctg(x/2)

Применим тригонометрические тождества

Сначала заметим, что ctg(x/2) можно представить в виде cos(x/2)/sin(x/2). Таким образом, уравнение можно переписать следующим образом: 1 + cos(x) = cos(x/2)/sin(x/2)

Избавимся от знаменателя

Умножим обе части уравнения на sin(x/2): sin(x/2) + sin(x)*sin(x/2) = cos(x/2)

Применим формулу сложения синусов

Используя формулу сложения синусов (sin(a + b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)), мы можем переписать уравнение следующим образом: sin(x/2) + 2*sin(x/2)*cos(x/2)*sin(x/2) = cos(x/2)

Упростим выражение

Вынесем sin(x/2) за скобку: sin(x/2)*(1 + 2*cos(x/2)*sin(x/2)) = cos(x/2)

Разделим обе части на cos(x/2)

Теперь мы можем разделить обе части уравнения на cos(x/2): sin(x/2)*(1 + 2*cos(x/2)*sin(x/2))/cos(x/2) = 1

Упростим дробь в скобках

Заметим, что выражение в скобках может быть упрощено: (1 + 2*cos(x/2)*sin(x/2))/cos(x/2) = 1 + 2*sin(x/2)^2/cos(x/2)

Применим тригонометрическую формулу

Используя тригонометрическую формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем заменить sin(x/2)^2 на (1 - cos(x/2)^2): 1 + 2*(1 - cos(x/2)^2)/cos(x/2) = 1 + 2*(1 - cos(x/2)^2)/cos(x/2)

Упростим выражение

Упростим числитель и знаменатель в дроби: 1 + 2 - 2*cos(x/2)^2 = 1 + 2 - 2*cos(x/2)^2

Сокращение

Видим, что обе части уравнения совпадают, поэтому уравнение выполняется для всех значений x. Таким образом, уравнение 1 + cos(x) = ctg(x/2) не имеет ограничений на x и выполняется для всех значений x.

Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, дайте знать!