Question

докажите иррациональность числа√6+√14+√21

Answer 1

число иррационально, т.к. все слагаемые - корни, которые не являются корнями какого-либо целого числа

Answer 2

Чтобы доказать иррациональность числа √6 + √14 + √21, мы должны использовать противоречие и предположить, что данное число является рациональным. Предположим, что √6 + √14 + √21 является рациональным числом и может быть представлено в виде дроби p/q, где p и q являются целыми числами без общих делителей, и q не равно нулю.

Мы можем возвести данное предположение в квадрат и получить следующее:

(√6 + √14 + √21)^2 = (p/q)^2

Раскрывая скобки, получаем:

6 + 2√6√14 + 2√6√21 + 14 + 2√14√21 + 21 = (p^2/q^2)

Объединяя подобные термины, получаем:

41 + 2√6√14 + 2√6√21 + 2√14√21 = (p^2/q^2)

Теперь давайте рассмотрим часть с корнями. Если √6√14 + √6√21 + √14√21 является рациональным числом, то каждое из чисел √6, √14 и √21 также должно быть рациональным числом. Но это противоречит определению иррациональных чисел, так как √6, √14 и √21 являются иррациональными числами.

Поэтому, если √6 + √14 + √21 является рациональным числом, то это приводит к противоречию. Следовательно, мы можем заключить, что √6 + √14 + √21 является иррациональным числом.

Таким образом, мы доказали, что √6 + √14 + √21 является иррациональным числом.