Question

Решите уравнение sin^(2)x+sin^(2)2x=1

Answer 1

Task/25107934
----------------------
Решите уравнение sin²x +sin²2x =1 ; 
--------------
решение:
sin²x +sin²2x =1 ⇔(1 -cos2x) / 2 +(1 -cos4x) / 2  =1⇔cos4x+cos2x =0 ⇔
2cos3x*cosx=0 ⇒ [ cos3x =0 , cosx =0 .
a)
cos3x =0 ⇒ 3x =π/2 +π*n , n∈ Z  ,  т.е.  x =π/6 +(π/3)*n , n∈ Z.
б)
cosx =0⇒ x =π/2 +π*k , k∈ Z.
!!!
 (эта серия решений содержится в серии решения  пункта a)
действительно  :   π/6 +(π/3)*n =π/2 +π*k    ⇒  n =3k+1
т.е.  при   n =3k+1  из  a)  получается решения пункта б)

ответ : x =π/6 +(π/3)*n , n∈ Z.

------- P.S. -------
cos2α =cos²α -sin²α=1- 2sin²α  ⇒ sin²α =(1-cos2α)/2 .
cosα+cosβ =2cos(α+ β)/2*cos(α - β)/2 .
* * * !!! cos3α=cosα(4cos²α -3)  * * *

Answer 2

$sin^{2}x+4sin^{2}xcos^{2}x -sin^{2}x-cos^{2}x=0$
$cos^{2}x(4sin^{2}x-1)=0$
$cos^{2}x=0$ или $4sin^{2}x-1=0$
1) $cos^{2}x=0$
$x= \frac{\pi}{2} + \pi k$,[/tex]  k∈Z
$2) 4sin^{2}x-1=0$
$sin^{2}x= \frac{1}{4}$
$sinx= \frac{1}{2} ,sinx=- \frac{1}{2}$
$x= (-1)^{n}arcsin \frac{1}{2} + \pi n,$ n∈Z   $x=(-1)^{m}arcsin(- \frac{1}{2} }) + \pi m,$   m∈Z
$x=(-1)^{n} \frac{\pi}{6} +\pi n,$  n∈Z;   $x=(-1)^{m}(- \frac{\pi}{6} )+\pi m,$  m∈Z

Answer 3

Давайте решим уравнение sin^2(x) + sin^2(2x) = 1 подробно.

Для начала, давайте приведем уравнение в более удобную форму. Заметим, что sin^2(2x) можно представить как (sin(2x))^2, используя свойство квадрата синуса. Таким образом, уравнение можно переписать как sin^2(x) + (sin(2x))^2 = 1.

Теперь мы можем использовать тригонометрическую тождества, чтобы преобразовать уравнение. Воспользуемся тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1, где cos(x) обозначает косинус x. Заметим, что sin^2(x) + (sin(2x))^2 похоже на sin^2(x) + cos^2(x), поэтому мы можем заменить (sin(2x))^2 на 1 - sin^2(x).

Теперь уравнение принимает вид sin^2(x) + 1 - sin^2(x) = 1. После сокращения sin^2(x) получаем 1 = 1.

Это уравнение является тождественным, что означает, что оно выполняется для любого значения x. Таким образом, уравнение sin^2(x) + sin^2(2x) = 1 не имеет ограничений на x и не имеет конкретного решения.

Вывод: Уравнение sin^2(x) + sin^2(2x) = 1 не имеет решений в обычных числах x.