Question

Помогите, пожалуйста, решить неравенство 0,1^(4x^2-2x-2)<0.1^(2x-3)

Answer 1

Т.к. 0<0.1<1, то функция убывающая, а значит знак неравенства нужно поменять на противоположный, получаем
4x²-2x-2>2x-3
4x² - 4x + 1 >0
 (2x-1)²>0
 x=0.5

x ∈ (-∞;0.5)U(0.5;+∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать свойства степеней и логарифмов. Давайте разберемся пошагово.

Начнем с преобразования неравенства. Заметим, что оба выражения содержат базу 0.1, поэтому мы можем упростить неравенство, оставив только показатели степени:

0.1^(4x^2 - 2x - 2) < 0.1^(2x - 3)

Теперь, чтобы избавиться от степеней, мы можем применить логарифм с базой 0.1 к обеим частям неравенства. Логарифм с базой 0.1 обозначается как log₀.₁():

log₀.₁(0.1^(4x^2 - 2x - 2)) < log₀.₁(0.1^(2x - 3))

Свойство логарифма гласит, что logₐ(b^c) = c * logₐ(b). Применяя это свойство, мы можем упростить выражение:

(4x^2 - 2x - 2) * log₀.₁(0.1) < (2x - 3) * log₀.₁(0.1)

Теперь обратим внимание на то, что log₀.₁(0.1) равен 1, так как 0.1 в степени 1 равно 0.1. Поэтому мы можем упростить выражение дальше:

(4x^2 - 2x - 2) < (2x - 3)

Теперь мы получили неравенство без степеней и логарифмов. Давайте продолжим его решение.

Соберем все члены с x на одной стороне и все свободные члены на другой:

4x^2 - 2x - 2 - (2x - 3) < 0

Упростим полученное выражение:

4x^2 - 2x - 2 - 2x + 3 < 0

4x^2 - 4x + 1 < 0

Теперь мы получили квадратное неравенство. Чтобы его решить, мы можем применить метод интервалов или графический метод. Я воспользуюсь методом интервалов.

1. Найдем корни квадратного уравнения 4x^2 - 4x + 1 = 0. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта или завершением квадрата. В данном случае, дискриминант равен 0, поэтому у нас есть один корень: x = 0.5.

2. Теперь построим интервалы на числовой прямой, используя найденный корень. Разделим числовую прямую на три интервала: (-∞, 0.5), (0.5, +∞).

3. Выберем точку из каждого интервала и проверим, какое значение имеет неравенство. Например, возьмем точку x = 0 для интервала (-∞, 0.5):

4 * 0^2 - 4 * 0 + 1 = 1

Неравенство 4x^2 - 4x + 1 < 0 не выполняется для этой точки.

4. Из полученных результатов видно, что неравенство 4x^2 - 4x + 1 < 0 не имеет решений.

Таким образом, исходное неравенство 0.1^(4x^2 - 2x - 2) < 0.1^(2x - 3) не имеет решений.