Question

Найдите точку максимума функции y=(x+5)e^(5-x)

Answer 1

Y = (x+5)*e^(5-x)
y' = e^(5-x) - (x+5)*e^(5-x)
y' = 0 <-> e^(5-x) * (1-x-5) = 0
x + 4 = 0
x = -4
{при этом y' > 0 при x < -4 и < 0 при x > -4, т.е. y возрастает до x = -4, а затем убывает -> -4 - точка максимума, значение y в ней = e^9}

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции y=(x+5)e^(5-x), мы должны найти значение x, при котором производная функции равна нулю. Затем мы можем использовать это значение x, чтобы найти соответствующее значение y.

Давайте начнем с нахождения производной функции. Мы можем использовать правило производной для произведения двух функций и правило дифференцирования экспоненты, чтобы найти производную функции y=(x+5)e^(5-x).

Производная функции y=(x+5)e^(5-x) состоит из двух частей: производной (x+5) и производной e^(5-x). Давайте вычислим эти производные по очереди.

Производная (x+5) равна 1, так как производная линейной функции равна коэффициенту при x.

Теперь рассмотрим производную e^(5-x). Для вычисления этой производной, мы можем использовать правило дифференцирования экспоненты, которое гласит, что производная экспоненты e^u равна произведению производной u по x и самой экспоненты e^u. В данном случае u = 5-x. Таким образом, производная e^(5-x) равна производной (5-x) по x, умноженной на саму экспоненту e^(5-x).

Производная (5-x) равна -1, так как производная линейной функции равна коэффициенту при x.

Теперь мы можем умножить производную (5-x) на саму экспоненту e^(5-x), чтобы получить производную e^(5-x), которая равна -e^(5-x).

Теперь мы можем объединить производные (x+5) и e^(5-x), чтобы получить производную функции y=(x+5)e^(5-x). Производная функции равна произведению производной (x+5) и производной e^(5-x):

y' = (1)(e^(5-x)) + (x+5)(-e^(5-x))

Упростим это выражение:

y' = e^(5-x) - (x+5)e^(5-x)

Теперь установим y' равным нулю и решим уравнение, чтобы найти значения x, при которых производная равна нулю:

e^(5-x) - (x+5)e^(5-x) = 0

Мы можем вынести e^(5-x) за скобки:

e^(5-x)(1 - (x+5)) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. Это означает, что один или оба множителя должны быть равны нулю.

1 - (x+5) = 0

Решим это уравнение:

1 - x - 5 = 0

-4 - x = 0

x = -4

Таким образом, мы нашли значение x, при котором производная функции равна нулю. Теперь давайте найдем соответствующее значение y, используя это значение x.

Подставим x = -4 в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение y:

y = (-4+5)e^(5-(-4)) = e^9

Точка максимума функции y=(x+5)e^(5-x) находится в точке (-4, e^9).

Ответ:

Точка максимума функции y=(x+5)e^(5-x) находится в точке (-4, e^9).