Question

В каком отношении парабола y^2=2x делит площадь круга x^2 + y^2=8

Answer 1

$y^2=2x\\ x^2+y^2=8$
 Найдем точки пересечения 
 $x^2+2x=8\\ x^2+2x-8=0\\ D=4+4*1*8=6^2\\ x=\frac{-2+6}{2}=2\\ x=\frac{-2-6}{2} \neq -4$ 
 $\int\limits^2_0 {\sqrt{8-x^2}-\sqrt{2x}} \, dx \\ = -\frac{2\sqrt{2}x^{\frac{3}{2}}}{3}+\frac{x\sqrt{8-x^2}}{2} + 4arcsin\frac{x}{\sqrt{8}} -\frac{\sqrt{8x^3}}{3} |^2_0\\\\ \pi-\frac{2}{3}-\frac{8}{3}=\frac{3\pi-10}{3}$ 
Площадь круга 
$>  Остальное <img src=$ 
И того $\frac{ 21\pi+10}{3} ; \frac{3\pi-10}{3}$

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос. В каком отношении парабола y^2=2x делит площадь круга x^2 + y^2=8?

Для начала, найдем точки пересечения параболы и круга, решив систему уравнений:

y^2=2x x^2 + y^2=8

Подставив первое уравнение во второе, получим:

x^2 + 2x - 8 = 0

Решая квадратное уравнение, находим:

x_1 = -4 x_2 = 2

Так как x > 0, то берем только x_2 = 2. Тогда y_2 = ±2√2.

Теперь, найдем площадь круга, используя формулу:

S_к = πr^2

Где r - радиус круга. Из уравнения круга, находим:

r^2 = 8

Тогда:

S_к = π*8

S_к ≈ 25.13

Теперь, найдем площадь сектора круга, ограниченного параболой, используя формулу:

S_с = (α/360)πr^2

Где α - центральный угол сектора. Чтобы найти α, используем формулу:

α = 2arcsin(y_2/r)

Подставляя значения, получаем:

α = 2arcsin(2√2/√8)

α ≈ 90°

Тогда:

S_с = (90/360)π*8

S_с ≈ 6.28

Наконец, найдем площадь фигуры, ограниченной параболой, используя формулу:

S_ф = ∫_a^b y dx

Где a и b - границы интегрирования. Из уравнения параболы, находим:

y = √(2x)

Тогда:

S_ф = ∫_0^2 √(2x) dx

S_ф = (2/3)x^(3/2)|_0^2

S_ф = (2/3)*2^(3/2) - 0

S_ф ≈ 1.89

Теперь, чтобы найти отношение площадей, вычтем из площади круга площадь сектора и площадь фигуры, и поделим на площадь фигуры:

(S_к - S_с - S_ф)/S_ф

(25.13 - 6.28 - 1.89)/1.89

≈ 8.93

Ответ: парабола y^2=2x делит площадь круга x^2 + y^2=8 в отношении 8.93:1.

Источники: [Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ](https://online.mephi.ru/courses/maths/nagornov_2_semestr/data/lecture/7/p3.html), [в каком отношении парабола y^2=2x делит площадь круга x^2 + y^2=8](https://obrazovalka.com/qa/algebra/4889077-v-kakom-otnoshenii-parabola-y22x-delit-ploshhad-kruga-x2-y28.html), [Парабола и квадратные неравенства](https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/parabola/).