Question

Решите уравнение cos2x+cosx=0

Answer 1

Cos2x+cosx=0
2cos²x-1+cosx=0
2cos²x+cosx-1=0
cosx=t
2t²+t-1=0
√D=√(1+4*2)=3
t1=(-1-3)/(2*2)=-1
cosx=-1
x1=π+2πk, k∈Z
t2=(-1+3)/(2*2)=1/2
cosx=1/2
x=π/3+2πk, k∈Z
x=-π/3+2πk, k∈Z

Ответ: x1=π+2πk
x2=π/3+2πk
x3= - π/3+2πk

Answer 2

Для решения уравнения \( \cos(2x) \cdot \cos(x) = 0 \), нужно использовать свойства тригонометрических функций и методы решения уравнений.

Уравнение \( \cos(2x) \cdot \cos(x) = 0 \) будет равно нулю, если одно из множителей равно нулю. Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. \( \cos(2x) = 0 \) 2. \( \cos(x) = 0 \)

Решение для \( \cos(2x) = 0 \):

Используем формулу для двойного угла: \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \). Подставим это в уравнение и решим:

\[ 2\cos^2(x) - 1 = 0 \]

Добавим 1 к обеим сторонам:

\[ 2\cos^2(x) = 1 \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ \cos^2(x) = \frac{1}{2} \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[ \cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Это дает два решения:

\[ x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \] и \( x = \frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} \), где \( k \) - любое целое число.

Решение для \( \cos(x) = 0 \):

Это уравнение приводит к \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), где \( k \) - целое число.

Общее решение:

Таким образом, общее решение уравнения \( \cos(2x) \cdot \cos(x) = 0 \) включает в себя объединение решений для двух уравнений:

\[ x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]

где \( k \) - целое число.