Question

X(1+y) +y(1+z )+z(1+x)> 6под кореньxyz

Answer 1

Пусть, для определённости, x<=y<=z (<= обозначает "меньше или равно").
Тогда хyz=x+y+z<=3z, т. е. хyz<=3z. Отсюда xy<=3, а поэтому х^2<=3.
Так как x - натуральное, то x=1.
Далее, если у=1, то из уравнения xyz=x+y+z следует, что z=2+z, что невозможно.
Если y>=3, то из этого же уравнения следует, что 3z=z+4, т. е. z=2, а поэтому у>z, что невозможно.
Таким образом, у<3, и следовательно, у=2.
Подставляя значения х=1 и у=2 в уравнение xyz=x+y+z получим 2z=3+z, а отсюда z=3

Answer 2

Давайте разберемся с неравенством подробно. Неравенство, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

X(1+y) + y(1+z) + z(1+x) > 6√(xyz)

Для начала, давайте преобразуем это неравенство и решим его шаг за шагом.

Раскрытие скобок:

X + XY + Y + YZ + Z + ZX > 6√(xyz)

Сгруппируем слагаемые:

(X + Y + Z) + XY + YZ + ZX > 6√(xyz)

Обозначим (X + Y + Z) как S:

S + XY + YZ + ZX > 6√(xyz)

Теперь преобразуем корень:

S + XY + YZ + ZX > 6√(x)√(y)√(z)

Возведем обе части неравенства в квадрат:

(S + XY + YZ + ZX)^2 > (6√(x)√(y)√(z))^2

Упростим правую сторону:

(S + XY + YZ + ZX)^2 > 36xyz

Раскроем квадрат:

S^2 + X^2Y^2 + Y^2Z^2 + Z^2X^2 + 2SXY + 2SYZ + 2SZX + 2XYZ + 2X^2Z + 2YZX > 36xyz

Упростим выражение:

S^2 + X^2Y^2 + Y^2Z^2 + Z^2X^2 + 2SXY + 2SYZ + 2SZX + 2XYZ + 2X^2Z + 2YZX - 36xyz > 0

Теперь мы получили квадратное уравнение. Однако, в данной форме его сложно решить аналитически. Мы можем попробовать использовать численные методы или графический анализ, чтобы найти решение.

Вывод: Неравенство X(1+y) + y(1+z) + z(1+x) > 6√(xyz) приводит нас к квадратному уравнению, которое требует численного решения или графического анализа для нахождения его решений.