Question

Найти интервалы возрастания и убывания функции y = 6x - 2x^3

Answer 1

Функция убывает на промежутках от минус бесконечности до -1 и от 1 до плюс бесконечности. возрастает от -1 до 1.

Answer 2

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции \(y = 6x - 2x^3\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \(y\). 2. Решите уравнение \(y'\) = 0, чтобы найти критические точки. 3. Разберитесь с поведением производной между критическими точками. 4. Составьте таблицу знаков производной на каждом интервале.

Давайте выполним эти шаги.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\)

\[ y = 6x - 2x^3 \]

\[ y' = 6 - 6x^2 \]

Шаг 2: Решим уравнение \(y'\) = 0

\[ 6 - 6x^2 = 0 \]

\[ 6x^2 = 6 \]

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = \pm 1 \]

Таким образом, у нас есть две критические точки: \(x = -1\) и \(x = 1\).

Шаг 3: Разберемся с поведением производной между критическими точками

Для определения интервалов возрастания и убывания выберем тестовую точку на каждом интервале между критическими точками и вычислим значение производной в этой точке.

Выберем три интервала: - \(x < -1\), - \(-1 < x < 1\), - \(x > 1\).

Шаг 4: Составим таблицу знаков производной

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Интервал} & x & y' & \text{Знак } y' \\ \hline x < -1 & -2 & 6-6(-2)^2 = -18 & - \\ \hline -1 < x < 1 & 0 & 6 & + \\ \hline x > 1 & 2 & 6-6(2)^2 = -18 & - \\ \hline \end{array} \]

Итог:

- На интервале \(x < -1\) производная отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале. - На интервале \(-1 < x < 1\) производная положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале. - На интервале \(x > 1\) производная снова отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.

Таким образом, интервалы возрастания функции \(y = 6x - 2x^3\) это \((-1, 1)\), а интервалы убывания это \((-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).