Question

Освободите дробь от иррациональности в знаменателе √6---------------------------√3-√6-√24-√48+√108:8 класс,решите пожалуйста !!

Answer 1

Честно, смутно помню эту тему, но предполагаю, что можно решить так: Корень из 6 делим на корень 3-6-24-48+108(под общим корнем) получаем иррациональную дробь, затем всю дробь возводим в квадрат, избавились от корня и получили
следующее число : 6/33 сокращаем на 3 и конечный ответ 2/11

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением и попытаемся освободить дробь от иррациональности в знаменателе.

Данное выражение:

\[ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{24} - \sqrt{48} + \sqrt{108}} \]

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженные значения (conjugates) знаменателя. Сопряженное значение выражения \(a - b\) равно \(a + b\).

В нашем случае, сопряженное значение выражения \(\sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{24} - \sqrt{48} + \sqrt{108}\) будет:

\[ \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{24} + \sqrt{48} + \sqrt{108} \]

Теперь умножим числитель и знаменатель на это сопряженное значение:

\[ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{6} - \sqrt{24} - \sqrt{48} + \sqrt{108}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{24} + \sqrt{48} + \sqrt{108}}{\sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{24} + \sqrt{48} + \sqrt{108}} \]

Раскроем знаменатель с использованием формулы \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):

\[ \frac{\sqrt{6} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{24} + \sqrt{48} + \sqrt{108})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{24})^2 - (\sqrt{48})^2 + (\sqrt{108})^2} \]

Упростим числитель и знаменатель:

Числитель: \[ \sqrt{6} \cdot (\sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{24} + \sqrt{48} + \sqrt{108}) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{48} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{108} \]

Знаменатель: \[ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{24})^2 - (\sqrt{48})^2 + (\sqrt{108})^2 = 3 - 6 - 24 - 48 + 108 \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{24} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{48} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{108}}{3 - 6 - 24 - 48 + 108} \]

Упростим числитель и знаменатель дальше:

Числитель: \[ \sqrt{18} + 6 + \sqrt{144} + \sqrt{288} + \sqrt{648} \]

Знаменатель: \[ 39 \]

Таким образом, окончательный ответ:

\[ \frac{\sqrt{18} + 6 + \sqrt{144} + \sqrt{288} + \sqrt{648}}{39} \]