Question

2^sin3x*2^sin5x=2^sin4x

Answer 1

Sin3x+sin5x=sin4x
2sin4xcosx=sin4x
sin4x(2cosx-1)=0
4x=Пk
x=Пk/4
cosx=1/2
x=+-П/3+2Пk

Answer 2

Давайте проанализируем уравнение 2^sin(3x) * 2^sin(5x) = 2^sin(4x) подробнее.

Возведение в степень суммы

Первое, что мы можем сделать, это применить свойство возведения в степень суммы. Это свойство гласит, что a^b * a^c = a^(b + c), где a - база, b и c - показатели степени. Применим это свойство к нашему уравнению:

2^sin(3x) * 2^sin(5x) = 2^sin(4x)

Мы можем объединить два слагаемых слева в одно, используя свойство возведения в степень суммы:

2^(sin(3x) + sin(5x)) = 2^sin(4x)

Свойство равенства степеней

Далее, мы можем использовать свойство равенства степеней. Если a^b = a^c, то b = c, при условии, что a не равно 0. Применим это свойство к нашему уравнению:

sin(3x) + sin(5x) = sin(4x)

Тригонометрическая теорема синусов

Мы можем использовать тригонометрическую теорему синусов для дальнейшего упрощения уравнения. Теорема синусов гласит, что для треугольника со сторонами a, b и c и соответствующими углами A, B и C выполнено следующее соотношение:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Применим теорему синусов к нашему уравнению:

sin(3x)/sin(A) + sin(5x)/sin(B) = sin(4x)/sin(C)

В нашем случае у нас только один угол, поэтому мы можем записать:

sin(3x)/sin(x) + sin(5x)/sin(x) = sin(4x)/sin(x)

Общий знаменатель

Для упрощения уравнения мы можем привести все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель в нашем случае будет sin(x). Приведем дроби к общему знаменателю:

(sin(3x) + sin(5x))/sin(x) = sin(4x)/sin(x)

Упрощение

Теперь мы можем сократить sin(x) в обеих частях уравнения:

sin(3x) + sin(5x) = sin(4x)

Кратные углы

Мы можем использовать формулы для суммы и разности тригонометрических функций, чтобы упростить уравнение дальше. Одна из таких формул гласит:

sin(A) + sin(B) = 2 * sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

Применим эту формулу к левой части уравнения:

2 * sin((3x + 5x)/2) * cos((3x - 5x)/2) = sin(4x)

Упростим выражение в скобках:

2 * sin(4x) * cos(-x) = sin(4x)

Упрощение cos(-x)

Мы знаем, что cos(-x) = cos(x). Заменим cos(-x) на cos(x):

2 * sin(4x) * cos(x) = sin(4x)

Убираем sin(4x) из обеих частей

Теперь мы можем убрать sin(4x) из обеих частей уравнения:

2 * sin(4x) * cos(x) - sin(4x) = 0

Факторизация

Мы можем факторизовать это уравнение, вынеся sin(4x):

sin(4x) * (2 * cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два возможных решения:

1) sin(4x) = 0 2) 2 * cos(x) - 1 = 0

Решение первого уравнения

Решим первое уравнение sin(4x) = 0:

sin(4x) = 0

У нас есть несколько значений x, которые удовлетворяют этому уравнению. Один из таких значений - x = 0, так как sin(0) = 0. Также, у нас есть периодичность sin(x), поэтому мы можем добавить к x любое целое число кратное 90 градусам, чтобы получить другие значения x, удовлетворяющие уравнению.

Решение второго уравнения

Решим второе уравнение 2 * cos(x) - 1 = 0:

2 * cos(x) - 1 = 0

Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:

2 * cos(x) = 1

Теперь разделим обе стороны на 2:

cos(x) = 1/2

У нас есть несколько значений x, которые удовлетворяют этому уравнению. Один из таких значений - x = 60 градусов (или x = π/3 радиан), так как cos(60°) = cos(π/3) = 1/2. Также, у нас есть периодичность cos(x), поэтому мы можем добавить к x любое целое число кратное 360 градусам (или 2π радиан), чтобы получить другие значения x, удовлетворяющие уравнению.

Общее решение

Таким образом, общее решение уравнения 2^sin(3x) * 2^sin(5x) = 2^sin(4x) будет состоять из двух наборов значений x:

1) x = 0 + 90n, где n - целое число 2) x = 60° (или π/3) + 360n, где n - целое число