Question

Доказать тождество sin^3t*(1+ctgt)+cos^3t*(1+tgt)=sint+cost помогите

Answer 1

$sin^3t(1+ctgt)+cos^3t(1+tgt)=\\\\=sin^3t\cdot (1+ \frac{cost}{sint} )+cos^3t\cdot (1+\frac{sint}{cost})=\\\\=sin^3t\cdot \frac{sint+cost}{sint} +cos^3t\cdot \frac{sint+cost}{cost} =\\\\=sin^2t(sint+cost)+cos^2t(sint+cost)=\\\\=(sint+cost)(\underbrace {sin^2t+cos^2t}_{1})=sint+cost$

Answer 2

Конечно, я помогу разобраться с этим тождеством. Давайте начнем с левой части:

\(\sin^3 t \cdot (1 + \cot{t}) + \cos^3 t \cdot (1 + \tan{t})\)

Давайте разложим \(\sin^3 t\) и \(\cos^3 t\) с помощью формулы синуса и косинуса в кубе:

\(\sin^3 t = (\sin t)^3 = (\sin t)(1 - \cos^2 t) = \sin t - \sin t \cdot \cos^2 t\)

\(\cos^3 t = (\cos t)^3 = (\cos t)(1 - \sin^2 t) = \cos t - \cos t \cdot \sin^2 t\)

Теперь заменим эти значения в левой части:

\(\sin t - \sin t \cdot \cos^2 t \cdot (1 + \cot t) + \cos t - \cos t \cdot \sin^2 t \cdot (1 + \tan t)\)

Давайте посмотрим на правую часть, которая представляет собой \( \sin t + \cos t \). Мы видим, что мы можем выразить \(\sin t\) и \(\cos t\) через \(\sin t + \cos t\) следующим образом:

\(\sin t = \sin t \cdot \frac{\sin t + \cos t}{\sin t + \cos t} = \frac{\sin^2 t + \sin t \cdot \cos t}{\sin t + \cos t}\)

\(\cos t = \cos t \cdot \frac{\sin t + \cos t}{\sin t + \cos t} = \frac{\cos^2 t + \sin t \cdot \cos t}{\sin t + \cos t}\)

Теперь сгруппируем подобные члены в левой части:

\(\sin t + \cos t - \sin t \cdot \cos^2 t \cdot (1 + \cot t) - \cos t \cdot \sin^2 t \cdot (1 + \tan t)\)

Теперь преобразуем выражения \(\sin t\) и \(\cos t\) в левой части, используя выражения, которые мы вывели ранее:

\(\frac{\sin^2 t + \sin t \cdot \cos t}{\sin t + \cos t} + \frac{\cos^2 t + \sin t \cdot \cos t}{\sin t + \cos t} - \sin t \cdot \cos^2 t \cdot (1 + \cot t) - \cos t \cdot \sin^2 t \cdot (1 + \tan t)\)

Общий знаменатель в левой части равен \(\sin t + \cos t\). Теперь объединим числители:

\(\frac{\sin^2 t + \sin t \cdot \cos t + \cos^2 t + \sin t \cdot \cos t - \sin t \cdot \cos^2 t \cdot (1 + \cot t) - \cos t \cdot \sin^2 t \cdot (1 + \tan t)}{\sin t + \cos t}\)

Упростим числитель:

\(\frac{\sin^2 t + \cos^2 t + 2 \cdot \sin t \cdot \cos t - \sin t \cdot \cos^2 t - \cos t \cdot \sin^2 t - \sin t \cdot \cos^2 t \cdot \cot t - \cos t \cdot \sin^2 t \cdot \tan t}{\sin t + \cos t}\)

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами \(\sin^2 t + \cos^2 t = 1\) и \(\sin t \cdot \cos t = \frac{1}{2} \cdot \sin{2t}\):

\(\frac{1 + \sin{2t} - \sin t \cdot \cos^2 t - \cos t \cdot \sin^2 t - \sin t \cdot \cos^2 t \cdot \cot t - \cos t \cdot \sin^2 t \cdot \tan t}{\sin t + \cos t}\)

Теперь воспользуемся тригонометрическими соотношениями \(\sin^2 t = 1 - \cos^2 t\) и \(\cos^2 t = 1 - \sin^2 t\):

\(\frac{1 + \sin{2t} - \sin t \cdot (1 - \sin^2 t) - \cos t \cdot (1 - \cos^2 t) - \sin t \cdot (1 - \sin^2 t) \cdot \cot t - \cos t \cdot (1 - \cos^2 t) \cdot \tan t}{\sin t + \cos t}\)

\(\frac{1 + \sin{2t} - \sin t + \sin^3 t - \cos t + \cos^3 t - \sin t \cdot \cos t \cdot \cot t + \sin^3 t \cdot \cot t - \sin t \cdot \cos^3 t \cdot \tan t + \cos^3 t \cdot \tan t}{\sin t + \cos t}\)

Теперь вспомним, что \(\tan t = \frac{\sin t}{\cos t}\) и \(\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}\):

\(\frac{1 + \sin{2t} - \sin t + \sin^3 t - \cos t + \cos^3 t - \sin t \cdot \cot t + \sin^2 t \cdot \cot t - \cos t \cdot \tan t + \cos^2 t \cdot \tan t}{\sin t + \cos t}\)

Теперь сгруппируем подобные члены:

\(\frac{1 + \sin{2t} + \sin^3 t + \cos^3 t - \sin t - \cos t}{\sin t + \cos t}\)

Заметим, что числитель равен \(\sin t + \cos t\), поэтому:

\(\frac{\sin t + \cos t}{\sin t + \cos t}\)

Что равно 1. Таким образом, мы