Question

Решить неравенство с помощью рисунка параболы (-3х+1)(2х-7) больше 0

Answer 1

Ветви направлены вниз потому что если раскрыть скобки то коэффициент перед х в кв. Будет отрицательным

Answer 2

Чтобы решить неравенство \((-3x + 1)(2x - 7) > 0\), давайте воспользуемся методом интервалов и построим знаки выражения \((-3x + 1)(2x - 7)\) на числовой прямой. Значения \(x\), при которых это выражение равно нулю, разбивают числовую прямую на интервалы.

1. Найдем корни уравнения \((-3x + 1)(2x - 7) = 0\). Установим каждый множитель равным нулю и найдем соответствующие значения \(x\):

\[ -3x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3} \]

\[ 2x - 7 = 0 \implies x = \frac{7}{2} \]

2. Теперь разместим найденные корни на числовой прямой:

\[ \begin{array}{cccccccc} \frac{1}{3} & \quad | \quad & - & - & - & | & \quad + \quad & \\ & & & 0 & & \frac{7}{2} & & \end{array} \]

Знак "-" между корнями указывает, что на этом интервале выражение \((-3x + 1)(2x - 7)\) отрицательно, а знак "+" вне интервалов, обозначает, что выражение положительно.

3. Теперь выберем по одной точке из каждого интервала для проверки знака на этом интервале. Например, возьмем \(x = 0\) (в левой части от \(\frac{1}{3}\)) и \(x = 4\) (в интервале между \(\frac{1}{3}\) и \(\frac{7}{2}\)). Подставим эти значения в выражение \((-3x + 1)(2x - 7)\):

При \(x = 0\): \((-3(0) + 1)(2(0) - 7) = 1 \cdot (-7) = -7\), что отрицательно.

При \(x = 4\): \((-3(4) + 1)(2(4) - 7) = -11 \cdot 1 = -11\), что также отрицательно.

Таким образом, знак "-" справедлив для интервалов между корнями уравнения.

4. Итак, решение неравенства \((-3x + 1)(2x - 7) > 0\) - это интервалы между корнями, т.е.,

\[ x \in \left( -\infty, \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{7}{2}, +\infty \right) \]

Где \(\cup\) обозначает объединение интервалов.