Question

Sinx+sin3x+cosx+cos3x=0

Answer 1

$2\cdot sin\frac{x+3x}{2}\cdot cos\frac{x-3x}{2}+2\cdot cos\frac{x+3x}{2}\cdot cos\frac{x-3x}{2}=0\\ 2\cdot sin2x\cdot cosx+2\cdot cos2x\cdot cosx=0\\ 2\cdot cosx(sin2x+cos2x)=0$

cosx=0

$x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi n$

sin2x=-cos2x

$\frac{sin2x}{cos2x}=-1$

tg2x=-1

x$2x_{2}=-\frac{\pi}{2}+\pi n, \ n eZ \\ x_{2}=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \ n eZ$

Answer 2

Для решения уравнения \( \sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0 \), мы можем воспользоваться тригонометрическими свойствами и формулами.

Давайте сначала преобразим сумму синусов и косинусов с использованием формул сложения для синуса и косинуса:

\[ \sin 3x = \sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x \] \[ \cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x \]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ \sin x + (\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x) + \cos x + (\cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x) = 0 \]

Группируем подобные члены:

\[ (\sin x + \cos x) + (\sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x - \sin 2x \sin x) + \cos x + \cos 2x \cos x = 0 \]

Объединяем термины:

\[ \sin x + \cos x + \sin x(\sin 2x - \cos 2x) + \cos x(1 + \cos 2x) = 0 \]

Факторизуем:

\[ \sin x(1 + \sin 2x) + \cos x(1 + \cos 2x) = 0 \]

Теперь у нас есть два множителя:

1. \( \sin x(1 + \sin 2x) = 0 \) 2. \( \cos x(1 + \cos 2x) = 0 \)

Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. \( \sin x(1 + \sin 2x) = 0 \)

Решения для этого множителя получаются из уравнения: - \( \sin x = 0 \) или - \( 1 + \sin 2x = 0 \)

Для первого уравнения решениями будут углы, кратные \( \pi \), то есть \( x = k\pi \), где \( k \) - целое число.

Для второго уравнения решения можно получить следующим образом:

\[ \sin 2x = -1 \]

Это происходит, когда \( 2x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi \), где \( n \) - целое число.

Таким образом, \( x = \frac{3\pi}{4} + n\pi \).

2. \( \cos x(1 + \cos 2x) = 0 \)

Решения для этого множителя получаются из уравнения: - \( \cos x = 0 \) или - \( 1 + \cos 2x = 0 \)

Для первого уравнения решениями будут углы, кратные \( \frac{\pi}{2} \), то есть \( x = \frac{(2k + 1)\pi}{2} \), где \( k \) - целое число.

Для второго уравнения решения можно получить следующим образом:

\[ \cos 2x = -1 \]

Это происходит, когда \( 2x = \pi + 2n\pi \), где \( n \) - целое число.

Таким образом, \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \).

Таким образом, у уравнения \( \sin x + \sin 3x + \cos x + \cos 3x = 0 \) есть решения:

1. \( x = k\pi \), где \( k \) - целое число. 2. \( x = \frac{3\pi}{4} + n\pi \), где \( n \) - целое число. 3. \( x = \frac{\pi}{2} + n\pi \), где \( n \) - целое число. 4. \( x = \frac{5\pi}{4} + n\pi \), где \( n \) - целое число.