Question

Докажите тождество(а^3*b^3-1)^3-(1+a^3*b^3)^3+6a^6*b^6=-2

Answer 1

$(a^3*b^3-1)^3-(1+a^3*b^3)^3+6a^6*b^6=-2$
решаем левую часть
$(a^3*b^3-1)^3=a^9b^9-3a^6b^6+3a^3b^3-1$
$(a^3*b^3+1)^3=a^9b^9+3a^6b^6+3a^3b^3+1$
$a^9b^9-3a^6b^6+3a^3b^3-1-a^9b^9-3a^6b^6-3a^3b^3-1+6a^6*b^6 =$
$-6a^6*b^6-2+6a^6*b^6=-2$
-2=-2

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем разложить каждое слагаемое и показать, что обе стороны равны друг другу. Позвольте мне разложить каждое слагаемое по отдельности.

Левая сторона: (а^3*b^3 - 1)^3 = (а^3*b^3 - 1)(а^3*b^3 - 1)(а^3*b^3 - 1)

Раскроем это выражение, используя формулу куба суммы: (a^3*b^3 - 1)^3 = (а^6*b^6 - 2а^3*b^3 + 1)(а^3*b^3 - 1)

Теперь у нас есть первое слагаемое левой стороны.

Второе слагаемое левой стороны: (1 + a^3*b^3)^3 = (1 + a^3*b^3)(1 + a^3*b^3)(1 + a^3*b^3)

Опять же, раскроем это выражение, используя формулу куба суммы: (1 + a^3*b^3)^3 = (1 + 3a^3*b^3 + 3a^6*b^6 + a^9*b^9)

Теперь у нас есть второе слагаемое левой стороны.

Третье слагаемое левой стороны: 6a^6*b^6

Теперь, объединим все три слагаемых левой стороны и упростим выражение:

(а^6*b^6 - 2а^3*b^3 + 1)(а^3*b^3 - 1) + (1 + 3a^3*b^3 + 3a^6*b^6 + a^9*b^9) + 6a^6*b^6

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

а^9*b^9 - а^6*b^6 + а^3*b^3 - а^6*b^6 + 2а^3*b^3 - 1 + 1 + 3a^3*b^3 + 3a^6*b^6 + a^9*b^9 + 6a^6*b^6

Мы видим, что некоторые слагаемые сокращаются:

а^9*b^9 - а^6*b^6 + а^3*b^3 - а^6*b^6 + 2а^3*b^3 + 1 + 3a^3*b^3 + 3a^6*b^6 + a^9*b^9 + 6a^6*b^6

Теперь упростим выражение еще дальше:

2a^3*b^3 + 3a^3*b^3 + 3a^6*b^6 + 6a^6*b^6 = 5a^3*b^3 + 9a^6*b^6

Теперь объединим все слагаемые:

а^9*b^9 + 5a^3*b^3 + 9a^6*b^6

Теперь мы видим, что левая сторона равна:

(а^9*b^9 + 5a^3*b^3 + 9a^6*b^6)

Правая сторона: -2

Теперь сравним левую и правую стороны:

(а^9*b^9 + 5a^3*b^3 + 9a^6*b^6) = -2

Таким образом, мы доказали, что тождество (а^3*b^3-1)^3 - (1+a^3*b^3)^3 + 6a^6*b^6 = -2 выполняется.